Question

11．汤姆孙用来测定电子的比荷（电子的电荷量与质量之比）的实验装置如图所示，真空管内的阴极K发出的电子经加速电压加速后，穿过A′中心的小孔沿中心线O₁O的方向进入到两块水平正对放置的平行极板P和P′间的区域，极板间距为d．当P和P′极板间不加偏转电压时，电子束打在荧光屏的中心O点处，形成了一个亮点；当P和P′极板间加上偏转电压U后，亮点偏离到O′点；此时，在P和P′间的区域，再加上一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场，调节磁场的强弱，当磁感应强度的大小为B时，亮点重新回到O点．不计电子的初速度、所受重力和电子间的相互作用．
（1）求电子经加速电场加速后的速度大小；
（2）若加速电压值为U₀，求电子的比荷；
（3）若不知道加速电压值，但已知P和P′极板水平方向的长度为L₁，它们的右端到荧光屏中心O点的水平距离为L₂，O′与O点的竖直距离为h，（O′与O点水平距离可忽略不计），求电子的比荷．

Answer 1

分析 （1）当电子受到电场力与洛伦兹力平衡时，做匀速直线运动，因此由电压、磁感应强度可求出运动速度．
（2）电子在电场中做类平抛运动，将运动分解成沿电场强度方向与垂直电场强度方向，然后由运动学公式求解．电子离开电场后，做匀速直线运动，从而可以求出偏转距离的表达式，变型得到电子的荷质比表达式．
（3）根据运动学公式，结合牛顿第二定律，及几何关系，即可求解．

解答 解：（1）设电子经过加速电场加速后速度大小为v．
电子在电场、磁场共存的P和P'区域内做匀速直线运动，因此有：$evB=e\frac{U}{d}$
解得：v=$\frac{U}{Bd}$
（2）对于电子经过加速电场过程，根据动能定理有$e{U}_{0}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$\frac{e}{m}$=$\frac{{U}^{2}}{2{B}^{2}{d}^{2}{U}_{0}}$
（3）设电子在P和P'区域内只有偏转电场时，运动的加速度为a，时间为t，离开偏转电场时的侧移量为y，偏转的角度为θ．根据运动学公式有：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
根据牛顿第二定律有：a=$\frac{eU}{md}$
电子在P和P′区域内运动时间：t=$\frac{{L}_{1}}{v}$
联立解得：$y=\frac{eU{L}_{1}^{2}}{2md{v}^{2}}$=$\frac{e{L}_{1}^{2}{B}^{2}d}{2mU}$
由于tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{2y}{{L}_{1}}$=$\frac{h}{\frac{{L}_{1}}{2}+{L}_{2}}$，
所以y=$\frac{{L}_{1}h}{{L}_{1}+2{L}_{2}}$
联立解得：$\frac{e}{m}$=$\frac{2Uh}{（{L}_{1}+2{L}_{2}）{L}_{1}{B}^{2}d}$
答：（1）电子经加速电场加速后的速度大小$\frac{U}{Bd}$；
（2）电子的比荷$\frac{{U}^{2}}{2{B}^{2}{d}^{2}{U}_{0}}$；
（3）若不知道加速电压值，但已知P和P′极板水平方向的长度为L₁，它们的右端到荧光屏中心O点的水平距离为L₂，O′与O点的竖直距离为h，则电子的比荷$\frac{2Uh}{（{L}_{1}+2{L}_{2}）{L}_{1}{B}^{2}d}$．

点评 考查平抛运动处理规律：将运动分解成相互垂直的两方向运动，因此将一个复杂的曲线运动分解成两个简单的直线运动，并用运动学公式来求解．