Question

如图所示，两根足够长的平行金属导轨由倾斜和水平两部分平滑连接组成，导轨间距L=1m，倾角θ=45°，水平部分处于磁感应强度B=1T的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，磁场左边界MN与导轨垂直．金属棒ab质量m₁=0.2kg，电阻R₁=1Ω，金属棒cd质量m₂=0.2kg，电阻R₂=3Ω，导轨电阻不计，两棒与导轨间动摩擦因数μ=0.2．开始时，棒ab放在斜导轨上，与水平导轨高度差h=1m，棒cd放在水平轨上，距MN距离为s₀．两棒均与导轨垂直，现将ab棒由静止释放，取g=10m/s²．求：

（1）棒ab运动到MN处的速度大小；
（2）棒cd运动的最大加速度；
（3）若导轨水平部分光滑，要使两棒不相碰，棒cd距离MN的最小距离s₀．

Answer 1

分析：（1）金属棒下降的过程中，重力与摩擦力做功的和等于动能的增加．
（2）运用法拉第电磁感应定律求出感应电动势，求出安培力，再使用牛顿第二定律求出加速度；
（3）运用动量守恒定律求出棒cd距离MN的最小距离时它们的共同速度，运用动量定理求出速度的变化量．根据能量守恒定律，求出产生的焦耳热．

解答：解：（1）对ab运用动能定理得
m1gh-μm1gcos45°?

h

sin45°

=

1

2

m1

v

2 0

代人数据得：v0=

2gh-2μgh

=

2×10×1-2×0.2×10×1

m/s=4m/s
（2）棒ab运动到MN处，cd加速度最大
E_m=BLv₀
  Im=

Em

R1+R2

∴Fm=BImL=

B2L2v0

R1+R2

=

12×12×4

1+3

N=1N
由牛顿第二定律：F_m-μm₂g=m₂a
解得：a=3m/s²
（3）在不相碰的情况下，两棒最终速度必相等，设为v_m，ab、cd组成的系统在水平方向任一时刻ab棒与cd棒受到的安培力总是大小相等，方向相反，故系统的水平方向的动量守恒，得：
    mv₀=2mv_m
即：vm=

v0

2

=2m/s
设某时刻ab的速度为v₁，cd的速度为v₂，在极小的△t内，ab速度变化为△v
则：ΦE=

△Φ

△t

=BL(v1-v2)
   I=

E

R1+R2

由牛顿运动定律有F1=m1

△v

△t

=

B2L2(v1-v2)

R1+R2

得v1-v2=

(R1+R2)m1

B2L2

?

△v

△t

两棒在水平导轨运动的相对位移，即为两棒不相碰的最小距离，
  S0=∑(v1-v2)△t=

(R1+R2)m1

B2L2

∑△v=

(R1+R2)m1

B2L2

?(v0-

1

2

v0)=

(R1+R2)m1v0

2B2L2

联立以上各公式，代人数据求得：s₀=1.6m
答：（1）棒ab运动到MN处的速度大小是4m/s；
（2）棒cd运动的最大加速度3m/s²；
（3）棒cd距离MN的最小距离是1.6m

点评：该题考查了多个知识点的综合运用．做这类问题我们还是应该从运动过程和受力分析入手研究，运用一些物理规律求解问题．
能量的转化与守恒的应用非常广泛，我们应该首先考虑．