Question

15．无限长通电螺线管内部的磁场可认为是匀强磁场（外围磁场可视为零）其大小为B=kI（I为螺线管所通电流，不同的螺线管，k值不同）．现有两个螺线管1和2，间轴放置（轴在O处），如图所示，其中1的半径为a，2的半径为b（大于2a）．在1中通以电流I₁=I₀+2t（电流随时间t变化），产生的磁场为B₁=2kI₁，在2中通以电流I₂=3t，产生的磁场为B₂=kI₂，且两个磁场同向．现在P处放一个半径为r的圆形导线框，圆心亦在O处．则：
（1）线框中产生的感应电动势多大？（不考虑感应电流对磁场的影响）
（2）感应电动势就是单位电荷在感应电场力的作用下沿线框移动一周（感应电场）电场力的功，由此可以求出线框P所在的位置感应电场E的大小，那么E为多大？
（3）现撤去线框P，在距O为r处（线框处）放一个静止的点电荷（电荷量为q，质量为m，不考虑重力），从t=0时刻释放，该电荷恰好以半径r做圆周运动，试求r的值．

Answer 1

分析 （1）磁感应强度的变化率$\frac{△B}{△t}$，根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势
（2）同一根电场线上电场强度大小处处相等，移动电荷q电场力一周做的功qE2πr，${E}_{感}^{\;}=\frac{W}{q}$，即可求出场强
（3）根据洛仑兹力提供向心力列式求解，

解答 解：（1）${B}_{1}^{\;}=2k{I}_{1}^{\;}=2k（{I}_{0}^{\;}+2t）$=$4kt+2k{I}_{0}^{\;}$
${B}_{2}^{\;}=k{I}_{2}^{\;}=3kt$
根据法拉第电磁感应定律有：${E}_{感}^{\;}=\frac{△{B}_{1}^{\;}}{△t}π{a}_{\;}^{2}+\frac{△{B}_{2}^{\;}}{△t}π{r}_{\;}^{2}$=$4kπ{a}_{\;}^{2}+3kπ{r}_{\;}^{2}$=$πk（4{a}_{\;}^{2}+3{r}_{\;}^{2}）$
（2）根据题意感应电动势就是单位电荷在感应电场力的作用下沿线框移动一周（感应电场）电场力的功，即：${E}_{总}^{\;}=\frac{W}{q}=\frac{qE2πr}{q}=E2πr$
联立①②得：$E=\frac{{E}_{总}^{\;}}{2πr}=\frac{4kπ{a}_{\;}^{2}+3kπ{r}_{\;}^{2}}{2πr}$=$\frac{4k{a}_{\;}^{2}+3k{r}_{\;}^{2}}{2r}$=$\frac{2k{a}_{\;}^{2}}{r}+\frac{3kr}{2}$=$\frac{k（4{a}_{\;}^{2}+3{r}_{\;}^{2}）}{2r}$
（3）小球沿切线方向的加速度大小恒为：$a=\frac{qE}{m}$
经过时间t，有：v=at
因为做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得：$qv{B}_{2}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
$r=\frac{mv}{q{B}_{2}^{\;}}$=$\frac{mat}{q3kt}=\frac{ma}{3kq}=\frac{m}{3kq}\frac{q}{m}（\frac{2k{a}_{\;}^{2}}{r}+\frac{3kr}{2}）$=$\frac{2{a}_{\;}^{2}}{3r}+\frac{r}{2}$
解得：$r=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$
答：（1）线框中产生的感应电动势为$πk（4{a}_{\;}^{2}+3{r}_{\;}^{2}）$
（2）感应电场E的大小为$\frac{k（4{a}_{\;}^{2}+3{r}_{\;}^{2}）}{2r}$
（3）r的值为$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$

点评 本题主要考查电磁感应及其相关知识，意在考查学生灵活应用电磁感应定律，洛伦兹力公式解决实际问题的能力，解第三问时要特别要注意“外围磁场为零”，一定要认真审题．