Question

6．“嫦娥之父”欧阳自远透露，我国计划于2020年登陆火星．假如某志愿者登上火星后将一小球从高为h的地方由静止释放，不计空气阻力，测得经过时间t小球落在火星表面，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星自转，则下列说法正确的是（　　）

• A． 火星的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{2hR}{t}}$
• B． 火星的质量为$\frac{2{h}^{2}R}{G{r}^{2}}$
• C． 火星的平均密度为$\frac{3h}{2πRG{r}^{2}}$
• D． 环绕火星表面运行的卫星的周期为πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$

Answer 1

分析 根据自由落体运动规律求得火星表面的重力加速度，根据第一宇宙速度求得火星的第一宇宙速度，根据重力等于万有引力求出火星质量，由密度公式得出火星的密度，环绕火星运行的卫星即近地卫星的周期，根据$T=\frac{2πR}{v}$求周期

解答 解：A、根据$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$得火星表面的重力加速度$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$，在火星表面的近地卫星的速度即第一宇宙速度$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，解得$v=\sqrt{gR}$，所以火星的第一宇宙速度$v=\sqrt{\frac{2hR}{{t}_{\;}^{2}}}$，故A错误；
B、火星表面任意物体的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$，故B错误；
C、火星的体积为$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，根据$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3h}{2πRG{t}_{\;}^{2}}$，故C正确；
D、根据$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πR}{\sqrt{\frac{2hR}{{t}_{\;}^{2}}}}=πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故D正确，
故选：CD

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道第一宇宙速度等于贴近星球表面做圆周运动的速度，即轨道半径等于星球的半径