Question

17．如图，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为45°，物体以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动（用g和L表示）：
（1）当小球即将要离开斜面时小球的速率v₀；
（2）当v=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$时，求线对物体的拉力．

Answer 1

分析 （1）先求出小球刚要离开锥面时的临界速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界速度．
（2）当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．

解答 解：当小球刚要离开锥面时的临界条件为圆锥体对小球的支持力N=0，由牛顿第二定律得：
mgtan45°=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{Lsin45°}$，
解得${v}_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}gL}{2}}$．
因v₁＜v₀，则N₁≠0，对小球受力分析如图，所示．则得
  T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
  T₁sinθ-N₁sinθ=m$m\frac{{v}^{2}}{Lsin45°}$，
解得T₁=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}mg$．
答：（1）当小球即将要离开斜面时小球的速率为$\sqrt{\frac{\sqrt{2}gL}{2}}$；
（2）线对物体的拉力为$\frac{\sqrt{2}+1}{2}mg$．

点评 解决本题的关键找出物体的临界情况，正确分析物体的受力情况，再运用牛顿第二定律求解．要注意小球圆周运动的半径不是L，而是Lsinθ．