Question

16．如图所示，一根不可伸长的轻细绳穿过光滑小环D，绕过轻质光滑定滑轮O，一端与物块m₁连接，另一端与穿在光滑水平细杆上的小球m₂连接，m₂左端通过水平细线固定在竖直墙壁上，整个装置在同一竖直平面内．当m₂静止在A点时，轻细绳与水平面的夹角为α=30°，D、A间的距离为1.2m．已知斜面倾角θ=37°，m₁=2kg，m₂=1kg，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s²，细杆、斜面足够长．求：
（1）水平细线对小球的拉力大小；
（2）若将水平细线剪断，小球运动的最大速度；
（3）将水平细线剪断后，物块m₁从B点沿斜面运动0.4m到C时的速度．

Answer 1

分析 （1）分别对两物体受力分析，由平衡条件列方程求解；
（2）小球速度最大时，正好在D点正下方，由机械能守恒定律列方程求解；
（3）由速度的合成与分解得到两个物块速度的关系，对系统由机械能守恒定律列方程求解．

解答 解：（1）分析A、B受力如图，由平衡条件可知：

对m₂有：T₂=T₁cosα
对m₁有：T₁=m₁gsinθ
联立以上各式并代入数据得：T₂=6$\sqrt{3}$N  
（2）小球速度最大时，正好在D点正下方，m₁速度为零，
对系统由机械能守恒得：$\frac{1}{2}$m₂${v}_{m}^{2}$=m₁g（$\overline{AD}$-$\overline{AD}$ sinα）sinθ
代入数据得：v_m=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$m/s 
（3）设物块运动到C时，小球运动到E，此时绳与细杆间的夹角为β，
由数学知识可知sinβ=$\frac{\overline{AD}sinα}{\overline{AD}-\overline{BC}}$，sin²β+cos²β=1，cosβ=$\frac{\sqrt{7}}{4}$
m₁从B滑到C的速度为v₁．由系统由机械能守恒得：$\frac{1}{2}$m₁ ${v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}$m₂${v}_{2}^{2}$=m₁g$\overline{BC}$ sinθ
由速度分解知识可得：v₁=v₂cosβ
联立以上各式并代入数据得：v₁=$\frac{2\sqrt{14}}{5}$ m/s  
答：（1）水平细线对小球的拉力大小为6$\sqrt{3}$N；
（2）若将水平细线剪断，小球运动的最大速度$\frac{6\sqrt{10}}{5}$m/s；
（3）将水平细线剪断后，物块m₁从B点沿斜面运动0.4m到C时的速度$\frac{2\sqrt{14}}{5}$ m/s．

点评 解决“绳（杆）端速度分解模型”问题时应把握以下两点：
（1）确定合速度，它应是m₂的实际速度；
（2）m₂运动引起了两个效果：一是左边绳子的缩短，二是绳绕滑轮的转动．应根据实际效果进行运动的分解．