Question

6．图甲为显像管工作原理示意图，阴极K发射的电子束（初速不计）经电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，磁场方向垂直于圆面（以垂直圆面向里为正方向），磁场区的中心为O，半径为r，荧光屏MN到磁场区中心O的距离为L．当不加磁场时，电子束将通过O点垂直打到屏幕的中心P点．当磁场的磁感应强度随时间按图乙所示的规律变化时，在荧光屏上得到一条长为2$\sqrt{3}$L的亮线．由于电子通过磁场区的时间很短，可以认为在每个电子通过磁场区的过程中磁感应强度不变．已知电子的电荷量为e，质量为m，不计电子之间的相互作用及所受的重力．求：

（1）电子打到荧光屏上时速度的大小；
（2）磁场磁感应强度的最大值B₀；
（3）磁感应强度为B₀时，电子通过磁场区的时间．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理，选取电子打到荧光屏上作为过程，即可求解；
（2）根据电子束最大偏转，得出PQ的长度，由三角函数，可求出θ，再根据几何关系，与牛顿第二定律及洛伦兹力公式，即可求解；
（3）根据电子在磁场中转过的圆心角与电子做圆周运动的周期公式求出电子的运动时间．

解答 解：（1）电子打到荧光屏上时速度的大小等于它飞出加速电场的速度大小，由动能定理得：eU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$；
（2）当磁感应强度为峰值B₀时，电子束有最大偏转，在荧光屏上打在Q点．则有：
PQ=$\sqrt{3}$L，电子运动轨迹如图所示，
设此时的偏转角为θ，由几何关系可知，
tanθ=$\frac{\sqrt{3}L}{L}$，
解得：θ=60°，
根据几何关系，电子束在磁场中运动路径所对圆心角α=θ，
而tan$\frac{α}{2}$=$\frac{r}{R}$，
由牛顿第二定律得：evB₀=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B₀=$\frac{\sqrt{6meU}}{3er}$；
（3）电子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{e{B}_{0}}$=$\frac{6πmr}{\sqrt{6meU}}$，
电子在磁场中转过的圆心角：α=60°，
电子在磁场中的运动时间：t=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{1}{6}$T=$\frac{πmr}{\sqrt{6meU}}$；
答：（1）电子打到荧光屏上时速度的大小为$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$；
（2）磁场磁感应强度的最大值为$\frac{\sqrt{6meU}}{3er}$；
（3）磁感应强度为B₀时，电子通过磁场区的时间为$\frac{πmr}{\sqrt{6meU}}$．

点评 考查动能定理的应用，掌握牛顿第二定律与洛伦兹力公式的综合，理解几何关系正确的运用，注意正确画出运动轨迹图，建立已知长度与半径的关系，是解题的关键．