Question

直立轻弹簧的下端与水平地面上质量为M=0.20 kg的甲木块连接，轻弹簧上端静止于A点（如图1），再将质量也为M=0.20 kg的乙木块与弹簧的上端连接，当甲、乙及弹簧均处于静止状态时，弹簧上端位于B点（如图2）。现向下用力压乙，当弹簧上端下降到C点时将弹簧锁定，C、A两点间的距离为Δl=6.0 cm。一个质量为m=0.10 kg的小球丙从距离乙正上方h=0.45 m处自由落下（如图3），当丙与乙刚接触时，弹簧立即被解除锁定，之后，丙与乙发生弹性碰撞（碰撞时间极短），碰撞后取走小球丙，当甲第一次刚离开地面时乙的速度为v=2.0 m/s。求从弹簧被解除锁定至甲第一次刚离开地面时，弹簧弹性势能的改变量。(g=10 m/s²)

Answer 1

解：设丙自由下落h时速度为v₀，根据自由落体运动规律

v₀==3.0 m/s①

解除锁定后，乙与丙发生弹性碰撞，设碰后乙、丙的速度分别为v_乙、v_丙，根据动量守恒定律

mv₀=mv_丙+Mv_乙②

根据弹性碰撞动能守恒  mv₀²=Mv_乙²+mv_丙²③

联立①②③解得（舍去）

④

碰后，乙立即以v_乙=2.0 m/s的速度从C点向下运动，从此时起直到甲第一次刚离开地面的时间内，乙在自身重力和弹簧弹力的共同作用下以B点为平衡位置做简谐运动（如图）.

当乙第一次回到平衡位置B时，弹簧相对于原长的压缩量（图2）x₁=⑤

当甲第一次刚离开地面时，弹簧相对于原长的伸长量（图4）  x₂=⑥

所以根据简谐振动的对称性可知  x₁+x₂=Δl-x₁⑦

则甲第一次刚离开地面时乙的速度为v=2.0 m/s，v和v_乙等大反向，且x₁=x₂==2 cm⑧

从碰撞结束至甲第一次刚离开地面时，对于乙和弹簧组成的系统，动能变化量为ΔE_k=Mv²-Mv_乙²=0

根据功能关系，系统重力势能的增加量ΔE_重等于弹性势能的减少量ΔE_弹

ΔE_弹=ΔE_重⑨

重力势能的增加量  ΔE_重=Mg(x₂+Δl)⑩

所以弹簧弹性势能的减少量为  ΔE_弹=Mg(x₂+Δl)=0.16 J.