Question

【题目】如图所示，竖直固定平行放置的两条相同长直导线1和2相距为（长直导线的长度），两导线中通有方向和大小都相同的稳恒电流，电流方向向上，导线中正离子都是静止的，每单位长度导线中正离子的电荷量为；形成电流的导电电子以速度沿导线向下匀速运动，每单位长度的导线中导电电子的电荷量为已知：单位长度电荷量为的无限长均匀带电直导线在距其距离为处产生的电场的强度大小为，其中是常量；当无限长直导线通有稳恒电流时，电流在距导线距离为处产生的磁场的磁感应强度大小为，其中是常量。试利用狭义相对论中的长度收缩公式求常量和的比值？提示：忽略重力；正离子和电子的电荷量与惯性参照系的选取无关；真中的光速为

.

Answer 1

【答案】

【解析】

在相对于正离子静止的参考系中，导线中的正离子不动，导电电子以速度向下匀速运动；在相对于导电电子静止的参考系中，导线中导电电子不动，正离子以速度向上匀速运动. 下面分四步进行分析.

第一步，在参考系中，考虑导线2对导线1中正离子施加电场力的大小和方向.

若系中一些正离子所占据的长度为，则在系中这些正离子所占据的长度变为，由相对论中的长度收缩公式有，式中. ①

设在参考系和中，每单位长度导线中正离子电荷量分别为和，由于离子的电荷量与惯性参考系的选取无关，故. ②

由①和②式得. ③

设在系中一些导电电子所占据的长度为，在系中这些导电电子所占据的长度为，则由相对论中的长度收缩公式有. ④

同理，由于电子电荷量的值与惯性参考系的选取无关，便有

， ⑤

式中，和分别为在参考系和中单位长度导线中导电电子的电荷量.

在参照系中，导线2单位长度带的电荷量为

. ⑥

它在导线1处产生的电场强度的大小为

. ⑦

电场方向水平向左. 导线1中电荷量为的正离子受到的电场力的大小为

. ⑧

电场力方向水平向左.

第二步，在参考系中，考虑导线2对导线1中正离子施加的磁场力的大小和方向.

在参考系中，以速度向上运动的正离子形成的电流大小为

. ⑨

导线2中的电流在导线1处产生的磁场的磁感应强度大小为

. ⑩

磁场方向垂直纸面向外，导线1中电荷量为的正离子所受到的磁场力的大小为

.

磁场力方向水平向右，与正离子所受到的电场力的方向相反.

第三步，在参考系中，考虑导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的大小和方向. 由题设条件，导线2所带的正电荷与负电荷之和为零，即

.

因而，导线2对导线1中正离子施加的电场力为零，即

.

注意到在系中，导线1中正离子不动，即

.

导线2对导线1中正离子施加的磁场力为零，即

.

式中，是在系导线2中的电流在导线1处产生的磁场的磁感应强度大小. 于是，在系中，导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的合力为零.

第四步，已说明在系中导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的合力为零，如果导线1中正离子还受到其他力的作用，所有其他力的合力必为零（因为正离子静止），在系中，导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的合力的大小为

.

因为相对系，上述可能存在的其他力的合力仍应为零，而正离子仍处于匀速运动状态，所以式应等于零，故

.

由⑧式得：.

本题是第29届全国中学生物理竞赛复赛试题.作为参与物理竞赛的学生，本题也许无须推导，仅从已知的电流的磁场与带电导线的电场知识，记下相应的常量，便易知，但这样肯定是不能得分的. 但若要按题目的要求，利用相对论的尺缩效应给予推导，如无超强的物理敏感性，几乎找不到解决问题的入口.本题的命题方式无疑告诉我们，对于我们所学的知识，应不仅仅只会套公式解题，更应该掌握其内核，作更深入的探讨，只有这样，才能在新的物理情境面前游刃有余.本题也涉及了电荷量与惯性参照系的选择无关.