Question

13．如图所示，一个质量m=0.6kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好沿光滑圆弧轨道ABC的A点的切线方向进入轨道（不计空气阻力）．已知圆弧轨道的半径R=0.3m，θ=60°，小球到达A点时的速度v=4m/s，取g=10m/s²．
（1）求小球做平抛运动的初速度v₀的大小．
（2）求P点与A点间的水平距离x和竖直距离h．
（3）若已知小球到达圆弧轨道最高点C时的速度v_C=$\sqrt{7}$m/s，求此时小球对轨道的压力N_C．

Answer 1

分析 （1）恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，说明到到A点的速度v_A方向与水平方向的夹角为θ，这样可以求出初速度v₀；
（2）平抛运动水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，根据平抛运动的基本规律求出P点与A点的水平距离和竖直距离；
（3）在C点，重力和弹力的合力提供向心力，根据向心力公式和牛顿第二定律列式求出小球在最高点C时对轨道的压力．

解答 解：（1）小球到A点的速度如图所示，由图可知
v₀=v_x=v_Acosθ=4×cos60°=2m/s 
（2）根据平抛运动的分运动公式，有：
${v}_{y}={v}_{A}sinθ=4×sin60°=2\sqrt{3}m/s$
由平抛运动规律得：
${v}_{y}^{2}=2gh$
v_y=gt
x=v₀t
h=0.6m
x=0.4$\sqrt{3}$m≈0.69m
（3）由圆周运动向心力公式得：
${N}_{C}+mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入数据得：
N_C=8N
由牛顿第三定律得：小球对轨道的压力大小：
N_C′=N_C=8N，方向竖直向上
答：（1）小球做平抛运动的初速度v₀为2m/s；
（2）P点与A点的水平距离为0.69m，竖直高度为0.6m；
（3）小球到达圆弧最高点C时v_C=$\sqrt{7}$m/s，对轨道的压力为8N．

点评 本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外；本题第三问中C点速度可以利用动能定理求解出来．