Question

19．如图所示，质量为m=0.2kg可看作质点的小物块静止放在半径r=0.8m的水平圆盘边缘上A处，圆盘由特殊材料制成，其与物块的动摩擦因数为μ₁=2，倾角为θ=37°的斜面轨道与水平轨道光滑连接于C点，小物块与斜面轨道和水平轨道存在摩擦，动摩擦因数均为μ₂=0.4，斜面轨道长度L_BC=0.75m，C与竖直圆轨道最低点D处的距离为L_CD=0.525m，圆轨道光滑，其半径R=0.5m．开始圆盘静止，后在电动机的带动下绕轴转动，在圆盘加速转动到某时刻时物块被圆盘沿纸面水平方向甩出（此时圆心O与A连线垂直纸面），后恰好切入斜面轨道B处后沿斜面方向做直线运动，经C处运动至D，在D处进入竖直平面圆轨道，绕过圆轨道后沿水平轨 道向右运动．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取 10m/s²）试求：
（1）圆盘对小物块m做的功．
（2）物块刚运动到圆弧轨道最低处D时对轨道的压力．
（3）假设竖直圆轨道可以左右移动，要使物块能够通过竖直圆轨道，求竖直圆轨道底端D与斜面轨道底端C之间最远距离和小物块的最终位置．

Answer 1

分析 （1）物块刚被甩出时静摩擦力达到最大，由牛顿第二定律求出此时物块的速度．对物块由静止到刚被甩出的过程，由动能定理求圆盘对小物块m做的功．
（2）物块被甩出后做平抛运动，到达B时速度沿斜面向下，由速度分解法求出物块刚运动到B点时的速度．对物块从B到D的过程，运用动能定理求出物块运动到D点时的速度．在D点，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求得支持力，从而求得物块对轨道的压力．
（3）要使物块能够通过竖直圆轨道，到达圆轨道最高点时向心力应大于等于重力，当向心力等于重力时，竖直圆轨道底端D与斜面轨道底端C之间距离最远，由向心力公式求得最高点临界速度．由动能定理求D与C之间最远距离．对从B到最终静止的整个过程，运用动能定理求出物块在水平轨道上运动的总路程，从而得出小物块的最终位置．

解答 解：（1）物块刚被甩出时静摩擦力达到最大，由牛顿第二定律得：
    μ₁mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得 v=$\sqrt{{μ}_{1}gr}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
物块由静止到刚被甩出的过程，由动能定理得：
    W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0=$\frac{1}{2}×0.2×{4}^{2}$J=1.6J
即圆盘对小物块m做的功为1.6J．
（2）物块被甩出后做平抛运动，到达B时速度沿斜面向下，可得物块刚到达B点时的速度为：
   v_B=$\frac{v}{cos37°}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
物块从B到D的过程，运用动能定理得
   mgL_BCsin37°-μ₂mgcos37°•L_BC-μ₂mgL_CD=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在D点，对物块有 N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
联立解得 N=12N
根据牛顿第三定律知：物块刚运动到圆弧轨道最低处D时对轨道的压力大小 N′=N=12N，方向竖直向下．
（3）物块恰好通过竖直圆轨道最高点E时，竖直圆轨道底端D与斜面轨道底端C之间距离最远，在E点，有 mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
设竖直圆轨道底端D与斜面轨道底端C之间最远距离为x．
从B到E，由动能定理得：
   mgL_BCsin37°-μ₂mgcos37°•L_BC-μ₂mgx-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
联立解得 x=0.525m
设小物块的最终位置到D点的距离为S．从E到最终停止位置，由动能定理得：
    2mgR-μ₂mgS=0-$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
解得 S=3.125m
答：
（1）圆盘对小物块m做的功是1.6J．
（2）物块刚运动到圆弧轨道最低处D时对轨道的压力大小为12N，方向竖直向下．
（3）竖直圆轨道底端D与斜面轨道底端C之间最远距离是0.525m，小物块的最终位置距离D点3.125m．

点评 分析清楚物块的运动过程，把握隐含的临界条件，如物块恰好到达圆轨道最高点的条件：重力等于向心力，是解决本题的关键．