Question

15．新课改的要求，使“社团课”这一形式脱颖而出，在某中学社团活动中，学生设计模拟游戏轨道如图所示，竖直光滑直轨道OA高度为2R，连接半径为R的半圆形光滑环形管道ABC（B为最低点），其后连接$\frac{1}{4}$圆弧环形粗糙管道CD，半径也为R，一个质量为m的小球从O点由静止释放，自由下落至A点进入环形轨道，从D点水平飞出，下落高度刚好为R时，垂直落在倾角为30°的斜面上P点，不计空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）小球运动到B点时对轨道的压力大小；
（2）小球运动到D点时的速度大小；
（3）小球在环形轨道中运动时，摩擦力对小球做了多少功？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出B点的速度，结合牛顿第二定律求出小球运动到B点时轨道对小球的支持力．
（2）小球通过D点后做平抛运动，根据高度求出竖直分速度，通过小球垂直落在倾角为30°的斜面上，根据平行四边形定则求出平抛运动的初速度，即D点的速度．
（3）对0到D段运用动能定理，求出摩擦力对小球做功的大小．

解答 解：（1）O→B：根据动能定理得，3mgR=$\frac{1}{2}$mυ_B²
解得${v}_{B}=\sqrt{6gR}$．
在B点，根据牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{υ_B^2}{R}$
则压力N ˊ=N=7mg．
（2）D→P：在竖直方向上，υ_y=$\sqrt{2gR}$
在P点：$\frac{υ_y}{υ_D}$=tan60°
解得υ_D=$\frac{{\sqrt{6gR}}}{3}$．
（3）O→D，根据动能定理得：mgR+W_f=$\frac{1}{2}$mυ_D²
解得W_f=-$\frac{2}{3}$mgR．
答：（1）小球运动到B点时对轨道的压力大小为7mg；
（2）小球运动到D点时的速度大小为$\frac{\sqrt{6gR}}{3}$；
（3）小球在环形轨道中运动时，摩擦力对小球做了-$\frac{2}{3}mgR$的功．

点评 本题考查了圆周运动、平抛运动与动能定理的综合，知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．