Question

17．如图1所示，水平放置、长为l的平行金属板A和B的距离为d，距其右端L竖直安放有足够长的屏PQ，现在A、B间加上如图2所示的电压，电压变化周期为T，现有质量为m、电量为q的带正电粒子束，从t=0时刻开始，从A、B板左端的中点O₁沿平行于金属板方向O₁O₂以速度v₀源源不断的射入，且满足v₀T=l，粒子能全部打一屏上，两板外无电场，不计粒子重力及粒子间相互作用力，求：

（1）t=0时刻射入的粒子从进入到穿出A、B板过程动量的增量△P；
（2）粒子击中屏PQ区域的长度；
（3）要使粒子能全部打在屏PQ上，电压U₀的数值应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）根据动量定理即可求得动量增量；
（2）由运动的独立性可知，带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做变速运动．粒子打在靶MN上的范围，实际上就是粒子在竖直方向所能到达的范围．分别计算当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中和粒子在$\frac{T}{2}$，3$\frac{T}{2}$，…（2n+1）$\frac{T}{2}$时刻进入电场时，这两种情况向粒子在竖直方向上的位移
（3）要使粒子能全部打在靶上，竖直方向上最大位移必须小于$\frac{d}{2}$，列式化简即可．

解答 解：（1）以竖直向下为正方向，t=0 时刻射入的粒子从进入到穿出A、B板过程
由动量定理得：$△P=\frac{q{U}_{0}}{d}×\frac{T}{2}-\frac{q×2{U}_{0}}{d}×\frac{T}{2}=-\frac{q{U}_{0}T}{2d}$
即动量增量大小为$\frac{q{U}_{0}T}{2d}$  方向竖直向上
（2）同（1）可证任意时刻射入的粒子从进入到穿出A、B板过程动量的增量均为$△P=-\frac{q{U}_{0}T}{2d}$
即出电场时各粒子速度方向相同，说明粒子击中屏PQ区域的长度即为粒子出电场时区域的长度
画出相应v-t图象（图略）分析可得：
在t=nT （n=0，1，2…）时刻射入的粒子从进入到穿出A、B板间时有最大的向下偏转距离y₁
得：${y}_{1}=\frac{1}{2}\frac{q{U}_{0}}{md}（\frac{T}{2}）^{2}=\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{8md}$
在$t=（2n+1）\frac{T}{2}$（n=0，1，2…）时刻射入的粒子穿出A、B板间时有最大的向上偏转距离y₂
${y}_{2}=\frac{{v}_{m}}{2}•\frac{T}{2}+\frac{{v}_{m}+\frac{{v}_{m}}{2}}{2}•\frac{T}{2}=\frac{5{v}_{m}T}{8}$    而${v}_{m}=\frac{2q{U}_{0}}{md}•\frac{T}{2}$
得：${y}_{2}=\frac{5q{U}_{0}{T}^{2}}{8md}$
粒子击中屏PQ区域的长度即为粒子出电场时区域的长度  $y={y}_{1}+{y}_{2}=\frac{3q{U}_{0}{T}^{2}}{4md}$
（3）要使粒子能全部打在屏PQ上，即粒子能全部穿出A、B板右侧  须有：${y}_{2}＜\frac{d}{2}$
电压U₀的数值应满足的条件${U}_{0}＜\frac{4m{d}^{2}}{5q{T}^{2}}$
答：（1）t=0时刻射入的粒子从进入到穿出A、B板过程动量的增量△P为$\frac{q{U}_{0}T}{2d}$；
（2）粒子击中屏PQ区域的长度为$\frac{3q{U}_{0}{T}^{2}}{4md}$；
（3）要使粒子能全部打在屏PQ上，电压U₀的数值应满足的条件为${U}_{0}＜\frac{4m{d}^{2}}{5q{T}^{2}}$

点评 本题是带电粒子在电场中的偏转，是典型的类平抛运动的问题，把粒子的运动分解为水平和竖直方向上的运动，在水平方向上做匀速运动，竖直方向上做匀速直线运动，本题还要注意电场力的大小和方向具有周期