Question

18．如图，有几个底边长度均为L、倾角不同的光滑斜面，将一物体从斜面顶端由静止释放滑到底端，当倾角α为多少时用时最短？最短时间为多少？

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出在光滑斜面上下滑的加速度，根据匀变速直线运动的位移时间公式求出运动的时间，根据数学的三角函数知识求出时间的最小值．

解答 解：设任一斜面的倾角为α，则下滑的加速度为 a=$\frac{mgsinα}{m}$=gsinα，下滑的位移为x=$\frac{L}{cosα}$，根据x=$\frac{1}{2}$at²得，t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=$\sqrt{\frac{2L}{gsinαcosα}}$=$\sqrt{\frac{4L}{gsin2α}}$．
当2α=90°即α=45°时，sin2α最大，t最小，t最小值为 t_min=$\sqrt{\frac{4L}{g}}$=2$\sqrt{\frac{L}{g}}$
答：当倾角α为45°时用时最短，最短时间为2$\sqrt{\frac{L}{g}}$．

点评 本题综合运用了牛顿第二定律和运动学知识，知道加速度是联系前后的桥梁，通过加速度可以根据力求运动．