Question

8．如图所示，光滑水平的固定平台中央放有物体A和B，两者彼此接触．物体A的上表面是半径为R的半圆形轨道，现使一物体C从与圆心的等高处由静止沿半圆轨道下滑，已知A、B、C的质量均为m．在运动过程中，A、C始终接触，求：
（1）物体A和B刚分离时，B的速度；
（2）物体A和B分离后，物体C所能到达轨道上距轨道最低点的最大高度．

Answer 1

分析 （1）从C开始运动到A、B分离过程，系统水平方向的动量守恒，系统的机械能也守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出B的速度．
（2）对系统应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出C能达到的最大高度．

解答 解：（1）设水平向左为正方向，C到最低端时A和B刚好要分离，且AB速度相同，设此时B速度大小为v_AB，C速度大小为v_c
则在C从开始下滑到最低点过程中对ABC三个物体构成的系统，由动量守恒定律与机械能守恒定律
有：
   mv_c-2mv_AB=0  
  mgR=$\frac{1}{2}$mv_c²+$\frac{1}{2}$•2mv_AB²   
联立上式求得：v_AB=$\sqrt{\frac{gR}{3}}$
（2）从AB分离到C滑到轨道最高点（此时AC共速）过程中，设最高点高度为h，对AC两物体构成的系统，由动量守恒定律有：
  mv_c-mv_AB=2mv_AC      
由机械能守恒定律有：
  $\frac{1}{2}$mv_c²+$\frac{1}{2}$mv_AB²=$\frac{1}{2}$•2mv_AC²+mgh    
联立上式求得：h=$\frac{3}{4}$R
答：
（1）物体A和B刚分离时，B的速度是$\sqrt{\frac{gR}{3}}$；
（2）物体A和B分离后，物体C所能到达轨道上距轨道最低点的最大高度是$\frac{3}{4}$R．

点评 本题是多研究对象多过程问题，分析清楚物体运动过程，应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题．