Question

10．如图所示，两足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面的夹角为α，匀强磁场分布在整个导轨所在区城，磁感应强度为B、方向垂直于导轨平面向上，质量为m、长为L的金属杆垂直于MN，PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好．两导轨的上端通过导线连接由定值电阻和电容器组成的电路，电容器的电容为C．现闭合开关S并将金属杆从ab位置由静止释放，已知杆向下运动距离为x到达cd位置的过程中，通过杆的电荷量为q₁，通过定值电阻的电荷量为q₂，且已知杆在到达cd前已达到最大速度．不计导轨、金属杆及导线的电阻，重力加速度为g．
（1）电容器上极板带什么电？电荷量是多少？
（2）杆运动的最大速度和定值电阻的阻值各是多少？
（3）小羽同学从资料上查阅到电容器的储能公式为E_C=$\frac{1}{2}$CU²（U为电容器两板间的电压），若不计回路向外辐射的电磁能，求杆从ad到cd的过程中回路产生的总焦耳热．
（结果用m、g、B、L、C、α、x、q₁、q₂表示）

Answer 1

分析 （1）由右手定则可知，电势Φ_a ＞Φ_b，故上极板带正电．由电路结构以及电荷守恒定律可知电荷量．
（2）杆最后做匀速运动，可以求出电流I，结合根据欧姆定律得：I=$\frac{U}{R}$以及U=BLv 可以求出v，从而可以求出R．
（3）据能的转化与守恒定律可知：mgxsinα=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$CU²+Q将v以及U代入可以求出Q．

解答 解：（1）金属杆在重力、支持力、安培力作用下，先做加速度减小的加速运动，达到最大速度v后做匀速运动，此时电路处于稳定状态；
由右手定则可知，电势Φ_a＞Φ_b，故上极板带正电，
由电路结构以及电荷守恒定律可知q_C=q₁-q₂
（2）电容器电荷量q_c=CU
由法拉第电磁感应定律可知U=BLv
解得：v=$\frac{{q}_{1}-{q}_{2}}{BLC}$
杆匀速运动时由平衡条件可知：mgsinα=BIL
根据欧姆定律得：I=$\frac{U}{R}$
解得：R=$\frac{U}{I}$=$\frac{BL（{q}_{1}-{q}_{2}）}{mgCsinα}$
（3）根据能的转化与守恒定律可知：mgxsinα=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$CU²+Q
解得：Q=mgxsinα-$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$CU²=mgxsinα-$\frac{1}{2}$m（$\frac{{q}_{1}-{q}_{2}}{BLC}$）²-$\frac{1}{2}$C（$\frac{{q}_{1}-{q}_{2}}{C}$）²
化简整理得：Q=mgxsinα-$\frac{（{q}_{1}-{q}_{2}）^{2}}{2C}$（$\frac{m}{{B}^{2}{L}^{2}C}$+1）．
答：（1）电容器上极板带正电，电荷量是q₁-q₂；
（2）杆运动的最大速度和定值电阻的阻值各是$\frac{{q}_{1}-{q}_{2}}{BLC}$与$\frac{BL（{q}_{1}-{q}_{2}）}{mgCsinα}$；
（3）杆从ad到cd的过程中回路产生的总焦耳热mgxsinα-$\frac{（{q}_{1}-{q}_{2}）^{2}}{2C}$（$\frac{m}{{B}^{2}{L}^{2}C}$+1）．

点评 此题中电磁感应与力学问题相结合，先根据右手定则判断导体棒切割磁感线产生的感应电动势，结合导体棒的运动情况可以求出安培力，再根据欧姆定律就可以求出R．