Question

19．如图所示装置的左半部分为速度选择器，相距为d的两块平行金属板分别连在电压可调的电源两极上（上板接正极），板间存在方向垂直纸面向里、磁感应强度为B₀的匀强磁场；右半部分为一半径为R的半圆形磁场区域，内有垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场．矩形abcd相切于半圆，小孔M、N连线延长线经过圆心O点且与ad垂直．一束质量为m、带电量为+q的离子（不计重力）以不同速率沿MN方向从M孔射入．
（1）金属板间电压为U₀时，求从N孔射出的离子的速度大小；
（2）要使离子能打到ab上，求金属板间电压U的取值范围．

Answer 1

分析 （1）正离子沿平行于金属板垂直磁场射入两板间做匀速直线运动时，洛伦兹力与电场力平衡，由平衡条件$Bqv=\frac{u}{d}q$可求出离子在平行金属板间的运动速度．
（2）带电粒子进入矩形abcd区域做匀速圆周运动，据题意找到粒子的运动轨迹，由几何关系可求出圆周运动的半径．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，可求出u的取值．

解答 解：（1）金属板间电压为U₀时，从N孔射出的离子轨迹为直线，洛伦兹力与电场力平衡，
由平衡条件：${B}_{0}qv=\frac{{U}_{0}}{d}q$
解得：$v=\frac{{U}_{0}}{{B}_{0}d}$
（2）如图1，设电压为U₁时，粒子恰好打在b点，粒子轨迹半径为r₁，
由几何关系得：r₁=R，由（1）可知：${v}_{1}=\frac{{U}_{1}}{{B}_{0}d}$
洛伦兹力提供粒子的向心力：
$Bq{v}_{1}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：${U}_{1}=\frac{RdqB{B}_{0}}{m}$
如图2，设电压为U₂时，粒子恰好打在a点，粒子轨迹半径为r₂，
由几何关系得：r₂+$\frac{{r}_{2}}{sin45°}$=R，解得：${r}_{2}=（\sqrt{2}-1）R$
由（1）可知：${v}_{2}=\frac{{U}_{2}}{{B}_{0}d}$
洛伦兹力提供粒子的向心力：
$Bq{v}_{2}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：${U}_{2}=\frac{（\sqrt{2}-1）RdqB{B}_{0}}{m}$
答：（1）从N孔射出的离子的速度大小为：$\frac{{U}_{0}}{{B}_{0}d}$；
（2）要使离子能打到ab上，金属板间电压U的取值范围为：$\frac{RdqB{B}_{0}}{m}≥U≥\frac{（\sqrt{2}-1）RdqB{B}_{0}}{m}$．

点评 本题中离子在复合场中运动的问题是速度选择器的模型，要比较熟悉．在磁场中画轨迹，由几何知识求解半径、由圆心角确定时间都是常规思路．