Question

17．如图所示，MN是一条通过透明球体球心的直线．AB为单色细光束（在真空中波长为λ₀=6×10^-7m），平行于MN射向球体，B为入射点，其出射光线CD与MN的交点P到球心O的距离是球半径的$\sqrt{2}$倍，且CD与MN所成的角α=30°．求：
（1）透明球体的折射率；
（2）此单色光在透明球体中的波长；
（3）若换用波长λ＞λ₀的单色光沿原方向入射，经透明球后的出射光线与MN的交点在P点哪一侧？请说明理由（不考虑光在球体内的反射）．

Answer 1

分析 （1）连接OB、BC，在B点光线的入射角、折射角分别标为i、r，作出光路图，根据几何关系求出入射角与折射角，根据折射定律求解折射率，
（2）根据波速、波长、频率的关系即可求得此单色光在透明球体中的波长；
（3）根据波长越长，折射率越小，再依据折射定律，即可求解．

解答 解：（1）连接OB、BC，如图所示．

在B点光线的入射角、折射角分别为i、r，在_△OCP中有：
$\frac{OC}{sinα}=\frac{OP}{sin∠OCP}$
解得：∠OCP=135°（45°值舍去） 进而可得：∠COP=15°
由折射率定义：在B点有：$n=\frac{sini}{sinr}$
在C点有：$n=\frac{sin（180°-135°）}{sin∠BCO}$
又∠BCO=r，所以，i=45°，r=30°
因此，透明体的折射率$n=\frac{sini}{sinr}=\frac{sin45°}{sin30°}=\sqrt{2}$
（2）由$n=\frac{c}{v}，c={λ_0}f，v=λf$
得单色光在透明体中的波长为：
$λ=\frac{λ_0}{n}=\frac{{6×{{10}^{-7}}}}{{\sqrt{2}}}≈4.2×{10^{-7}}$m
（3）若换用波长λ＞λ₀的单色光照射，经透明球后的出射光线与MN的交点在P点的右侧，
因为此单色光的折射率变小，所以偏折程度变小．
答：（1）透明球体的折射率$\sqrt{2}$；
（2）此单色光在透明球体中的波长4.2×10^-7m；
（3）若换用波长λ＞λ₀的单色光沿原方向入射，经透明球后的出射光线与MN的交点在P点右侧．

点评 本题是较为复杂的几何光学问题，其基础是作出光路图，根据几何知识确定入射角与折射角，根据折射定律求解，折射过程中频率不变．