Question

14．如图所示的xOy坐标系中，y轴右侧空间存在范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向里．P点的坐标为（-6L，0），Q₁、Q₂两点的坐标分别为（0，3L），（0，-3L）．坐标为（-L，0）处的C点固定一平行于y轴放置一足够长的绝缘弹性挡板，带电粒子与弹性绝缘挡板碰撞前后，沿y方向分速度不变，沿x方向分速度反向，大小不变．带负电的粒子质量为m，电量为q，不计粒子所受重力．若粒子在P点沿PQ₁方向进入磁场，经磁场运动后，求：
（1）只与挡板碰撞一次并能回到P点的粒子初速度大小；
（2）粒子能否经过坐标原点O之后再回到P点；
（3）只与挡板碰撞三次并能回到P点的粒子初速度大小以及这种情况下挡板的长度至少为多少．

Answer 1

分析 （1）作出粒子运动的轨迹图，结合几何关系求出粒子在磁场中运动的轨道半径，根据半径公式求出粒子的速度．
（2）粒子进入磁场后做周期性运动，分析粒子一个周期的运动情况，根据几何关系以及对称性．即可求出粒子经过坐标原点O之后再回到P点所满足的关系式；
（3）粒子与挡板碰撞三次并能回到P点，作出轨迹图，结合几何关系，运用半径公式进行求解．

解答 解：（1）粒子与挡板只碰撞一次，粒子运动的轨迹如图一所示，粒子运动的轨道半径为R，碰撞前后出入磁场两点之间的距离为L
则：根据几何关系可得：4Rcosθ-L=6L，其中：cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解得：R=$\frac{7\sqrt{5}L}{8}$ ①
根据半径公式：R=$\frac{mv}{qB}$ ②
联立①②式可得：v=$\frac{7\sqrt{5}qBL}{8m}$
（2）设粒子在x轴上方与挡板碰撞n次，
每次圆周运动，粒子位置沿y轴向下平移的距离为2Rcosθ，
与挡板相碰后，粒子位置向上平移的距离为L，
一次周期性运动粒子沿y轴共向下平移为2Rcosθ-L，
要使粒子经过坐标原点O之后再回到P点需满足：
（n-1）（2Rcosθ-L）+2Rcosθ=3L  （n=2，3，4…） ③
联立②③式子可得：v=$\frac{（n+2）qBL}{2nmcosθ}$ （n=2，3，4…）
所以，只要粒子速度满足v=$\frac{（n+2）qBL}{2nmcosθ}$ （n=2，3，4…）粒子就可以经过坐标原点O之后再回到P点（图二为n=2时的过程图）
（3）若与挡板碰撞三次，如图二所示，设挡板的长度L₀
根据几何关系可得：3（2Rcosθ-L）+2Rcosθ=6L
解得：R=$\frac{9\sqrt{5}L}{16}$ ④
根据半径公式：R=$\frac{mv}{qB}$可得：v=$\frac{9\sqrt{5}qBL}{16m}$ ⑤
联立④⑤式子可得：挡板的长度的最小值L₀=2（2Rcosθ-L）=2.5L
答：（1）只与挡板碰撞一次并能回到P点的粒子初速度大小为$\frac{7\sqrt{5}qBL}{8m}$；
（2）粒子能经过坐标原点O之后再回到P点；
（3）只与挡板碰撞三次并能回到P点的粒子初速度大小以及这种情况下挡板的长度至少为2.5L．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，第二问为多次回旋的周期性运动，分析每次周期性运动粒子位置变化情况，注意利用几何关系和对称性去分析；对于第一问和第三问，解题关键是要做出粒子的轨迹图，运用半径公式结合几何关系进行求解．