Question

如图所示，轨道ABCD由粗糙的斜面轨道AB和光滑圆弧轨道BCD组成．圆弧轨道BCD半径R=lm，在B点与斜面轨道48相切；C点是圆弧轨道的最低点，D点的切线沿竖直方向；斜面轨道与水平面的夹角8=37°，物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.3在D点的正上方有一厚度不计的旋转平台，沿平台的一条直径上开有两个小孔P、Q，两孔离轴心等距离，旋转时两孔均能达到D点的正上方．一质量m=0.5kg的物块（视为质点）从斜面上A点由静止释放，到达C点时对轨道的压力耻N_N=65N，到达D点后恰好无碰撞的穿过小孔P，为了使物块能从小孔Q落下（不计空气阻力，重力加速度g=10m/s²，取sin37°=0.6，cos37°=o．8），求：
（1）物块到达C点时的速度（结果可用根式表示）．
（2）AB的长度L（结果可用分数表示）．
（3）平台的角速度ω应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）在C点，物块靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出物块到达C点的速度．
（2）对AC段运用动能定理，有重力和摩擦力做功，根据动能定理求出AB段的长度．
（3）对C到D段运用动能定理，求出到达D点的速度，小球穿越孔后做竖直上抛运动，根据运动学公式求出上抛到返回平台的时间，根据圆周运动的周期性，求出平台的角速度ω应满足的条件．

解答：解：（1）在C点，根据牛顿定律有FN-mg=m

υ2

R

υ=

( FN m -g)R

=

( 65 0.5 -10)×1

m/s=2

30

m/s．
（2）由动能定理，有mgLsin37°+mgR（1-cos37°）-μmgLcos37°=

1

2

mυ2
解得L=

145

9

m
（3）设小球到达D点时的速度是υ_D，则在物块由C到D过程中，有

1

2

mυ2=mgR+

1

2

mυD2
解得υ_D=10m/s
物块越过孔后做初速度为10m/s、加速度为-g的匀变速运动，由运动学公式h=υ0t+

1

2

gt2有0=10×t+

1

2

×(-10)×t2
可得t=2s
根据θ=ωt得ω应满足ω=

θ

t

=

(2n+1)π

2

(n=0，1，2，3)
答：（1）物块到达C点时的速度为2

30

m/s．
（2）AB的长度L为

145

9

m．
（3）平台的角速度ω应满足的条件为ω=

(2n+1)π

2

(n=0，1，2，3)．

点评：小球经历了匀变速运动、圆周运动和竖直上抛运动，综合考查了动能定理、牛顿第二定律和运动学公式．