Question

16．有一水平放置的圆盘，上面放一劲度系数为k的弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端系一质量为m的物体A，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，开始时弹簧未发生形变，长度为l．设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力．求：
（1）盘的转速ω₀多大时，物体A开始滑动？
（2）当转速缓慢增大到2ω₀时，A仍随圆盘做匀速圆周运动，弹簧的伸长量△x是多少？

Answer 1

分析 （1）物体A随圆盘转动的过程中，若圆盘转速较小，由静摩擦力提供向心力；当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．物体A刚开始滑动时，弹簧的弹力为零，静摩擦力达到最大值，由静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律求解角速度ω₀．
（2）当角速度达到2ω₀时，由弹力与摩擦力的合力提供向心力，由牛顿第二定律和胡克定律求解弹簧的伸长量△x．

解答 解：若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与静摩擦力的合力提供向心力．
（1）当圆盘转速为n₀时，A即将开始滑动，此时它所受的最大静摩擦力提供向心力，则有：
$μmg=ml{ω}_{0}^{2}$，
解得：${ω}_{0}=\sqrt{\frac{μg}{l}}$．
即当${ω}_{0}=\sqrt{\frac{μg}{l}}$时物体A开始滑动．
（2）当圆盘转速达到2ω₀时，物体受到的最大静摩擦力已不足以提供向心力，需要弹簧的弹力来补充，
即：$μmg+k△x=mrω_1^2$，
r=l+△x
解得：$△x=\frac{3μmgl}{kl-4μmg}$．
答：（1）盘的转速是$\sqrt{\frac{μg}{l}}$时，物体A开始滑动；
（2）当转速缓慢增大到2ω₀时，A仍随圆盘做匀速圆周运动，弹簧的伸长量△x是$\frac{3μmgl}{kl-4μmg}$．

点评 当物体相对于接触物体刚要滑动时，静摩擦力达到最大，这是经常用到的临界条件．本题关键是分析物体的受力情况．