Question

如图所示，一个半径R=1.0m的圆弧形光滑轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与竖直方向夹角θ=60°，C为轨道最低点，D为轨道最高点．一个质量m=0.50kg的小球（视为质点）从空中A点以v₀=4.0m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．重力加速度g取10m/s²．试求：
（1）小球抛出点A距圆弧轨道B端的高度h．
（2）小球经过轨道最低点C时对轨道的压力F_C．
（3）小球能否到达轨道最高点D？若能到达，试求对D点的压力F_D．若不能到达，试说明理由．

Answer 1

分析：根据小球恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道，说明小球的末速度应该沿着B点切线方向，再由圆的半径和角度的关系，可以求出B点切线的方向，即平抛末速度的方向，从而可以求得竖直方向分速度．
根据机械能守恒定律求得C点速度，根据牛顿定律求得压力．
设小球能到达D点，根据机械能守恒定律求得D点速度，再运用牛顿第二定律和圆周运动知识求解．

解答：解：（1）小球恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道，说明小球的末速度应该沿着B点切线方向，
将平抛末速度进行分解，根据几何关系得：
B点速度在竖直方向的分量：vy=v0tan60°=4

3

m/s                       
竖直方向的分运动为自由落体运动．h=

v 2 y

2g

=

48

20

=2.4m                    
（2）由机械能守恒定律，有

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 0

+mg(h+R-Rcosθ)
得v_C²=74m²/s²     
根据牛顿第二定律，有F′C-mg=

m v 2 C

R

，
解得F'_C=42N               
根据牛顿第三定律，F=F'=42N，方向竖直向下．                         
（3）设小球能到达D点，根据机械能守恒定律，有

1

2

m

v

2 D

=

1

2

m

v

2 0

+mg(h-R-Rcosθ)
解得vD=

34

＞

gR

，即小球能到达D点．                               
根据牛顿定律，有F′D+mg=

m v 2 D

R

代入数据，解得小球受到的压力F'_D=12N
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力为F_D=F'_D=12N，方向竖直向上．     
答：（1）小球抛出点A距圆弧轨道B端的高度h是2.4m．
（2）小球经过轨道最低点C时对轨道的压力是42N，方向竖直向下．
（3）小球能到达D点，对D点的压力是12N，方向竖直向上．

点评：恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，这是解这道题的关键，理解了这句话就可以求得小球的末速度，本题很好的把平抛运动和圆周运动结合在一起运用机械能守恒解决，能够很好的考查学生的能力，是道好题．