Question

14．若一边长为a质量为m木块放在底面为正方形（边长为$\sqrt{2}$a）的盛水足够深的长方体容器中，开始时，木块静止，有一半没入水中，水面距容器底的距离为2a，如图所示，现用力F将木块缓慢地压到容器底部，不计摩擦，求这一过程中压力做的功．

Answer 1

分析 对木块全部没入水中的过程进行分析，等效成有一个与木块同体积的水块与木块位置互换，根据重力势能的表达式求解，再根据功能关系分析压力的功；再对压到水底过程分析，根据动能定理求出压力的功，则可求出全过程中压力所做的功．

解答 解：开始时，木块静止，有一半没入水中，则说明排开的一半水的质量等于木块的质量m，故木块的密度是水的密度一半；
因容器水面面积为2a²，是木块底面积的2倍，不可忽略因木块压入水中所引起的水深变化，木块刚好完全没入水中时，图中原来处于下方划斜线区域的水被排开到上方划斜线区域．这部分水的质量为m，
其重力势能的增加量为：△E_水=$\frac{3}{4}$mga
木块全部进入水的过程中，木块的重力势能减少：△E₂=mgh₂=$\frac{1}{4}$mga
根据功能关系可知，压力F所做的功为：W₁=△E_水-△E₂=$\frac{3}{4}$mga-$\frac{1}{4}$mga=$\frac{1}{2}$mga；
在完全没入后，根据动能定理可知：
W2=（2mg-mg）（2a+$\frac{a}{4}$-$\frac{a}{2}$）=$\frac{3}{4}$mga
全过程中所做的功W=W₁+W₂=$\frac{5}{4}$mga；
答：故全过程中压力所做的功为$\frac{5}{4}$mga

点评 本题关键是分析清楚木块和水的运动情况，抓住木块下降重力做功和同体积的水上升重力做功即可，然后根据功能关系列式求解，关键在于分析水面上升的高度以及木块下落的高度；从而求解水重力势能的增加量．