Question

6．一小球在流体中运动时，他将受到流体阻碍运动的黏滞阻力．实验发现，当小球相对流体速度不太大时，黏滞阻力F=$\frac{3}{4}$πη₀vr，其中r为小球的半径，v为小球相对流体运动的速度，η₀为常温下流体的黏滞系数．现将一个半径为r₀的钢球放入常温下的甘油中，让它下落．已知钢的密度为ρ，常温下甘油的密度为ρ₀，重力加速度为g．
（1）钢球从静止释放后，在甘油中做什么性质的运动？
（2）钢球在甘油中下落的最大速度v_m为多少？

Answer 1

分析 （1）钢球从静止释放后，受到重力和黏滞阻力，由题分析阻力随速度的变化，判断合力的变化情况，从而分析出其运动性质．
（2）最终钢球做匀速运动，速度最大，由已知条件和平衡条件列式求解．

解答 解：（1）钢球从静止释放后，受到向下的重力和向上的黏滞阻力和浮力，由题F=$\frac{3}{4}$πη₀vr，可知阻力随速度的增大而增大，则钢球的合力减小，加速度减小，钢球做加速度减小的变加速运动．当阻力、浮力与重力平衡条件时做匀速直线运动．
（2）最终钢球做匀速运动，速度最大，由平衡条件得：mg=F+F_浮；
即   ρ•$\frac{4}{3}π{r}^{3}$g=$\frac{3}{4}$πη₀v_mr+ρ₀$•\frac{4}{3}π{r}^{3}$g
解得 v_m=$\frac{16（ρ-{ρ}_{0}）{r}^{2}g}{9η{\;}_{0}}$
答：
（1）钢球从静止释放后，先做加速度减小的变加速运动，最终做匀速直线运动．
（2）钢球在甘油中下落的最大速度v_m为$\frac{16（ρ-{ρ}_{0}）{r}^{2}g}{9η{\;}_{0}}$．

点评 本题是信息题，要在读懂题意的基础上，运用动力学方法分析钢球的运动情况，运用共点力平衡进行求解．