Question

14．如图所示，a、b为垂直于纸面的竖直平等平面，其间有方向相互垂直的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B；水平面c下方的某区域内有与a、b间磁场相同一匀强磁场；P点有大量向下运动的速度为v、质量为m、电荷量值在q₁-q₂（|q₂|＞|q₁|）范围内的带电粒子，经a、b间区域后由O点进入水平面c下方的磁场做圆周运动，然后打在水平面c上，O、P在同一竖直线上．不计粒子重力及相互影响，图示平面为竖直平面．
（1）求a、b间的电场强度；
（2）求在图面内粒子打在水平面c上的位置；
（3）c下方磁场区域在图面内面积最小的情况下，若无粒子运动时，一端在O点的足够长金属杆，以过O点垂直于杆的直线为轴在图面内顺时针匀速旋转，角速度为ω．在t=0时刻，金属杆水平，左端在O点，求金属杆在c下方运动时其电动势随时间变化的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）由平衡条件可以求出电场强度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，然后求出范围．
（3）求出切割磁感线的有效长度，然后应用E=BLv求出感应电动势．

解答 解：（1）设a、b区域电场的电场强度为E₀，
由平衡条件得：q₁vB=q₁E₁ ①
电场强度的大小和方向与粒子所带电量无关，
其方向水平向左，大小为：E₁=vB  ②；
（2）如图建立坐标系，若q₁＞0，q₂＞0，则在
x≥0区域作圆周运动，圆心在x轴上的C₁与C₂之间，其半径在R₁与R₂之间，
由牛顿第二定律得：q₁vB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$  ③
q₂vB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$  ④
粒子打在水平面c上的位置为运动轨迹与x轴的交点x₁与x₂之间范围，则
x₁=2R₁ ⑤x₂=2R₂ ⑥
若q₁＜0，q₂＜0，则在x≤0区域作圆周运动，其运动与带正电粒子的运动关于y轴对称，
联立相关方程并代入已知条件，粒子打在水平面c上的位置为：
$\frac{2mv}{{q}_{2}B}$≤x≤$\frac{2mv}{{q}_{1}B}$   （q₁ ＞0，q₂＞0）⑦
$\frac{2mv}{{q}_{1}B}$≤x≤$\frac{2mv}{{q}_{2}B}$  （q₁ ＜0，q₂＜0）⑧
（3）如图所示，所需磁场最小面积是平面c下以C₁与C₂为圆心的半圆之间区域和关于y轴对称部分的面积．
杆在转过0～90°范围内，金属杆转过角度θ=ωt时，杆与磁场边界交点为A、D，由图知
OA=2R₂cosωt  ⑨
OD=2R₁cosωt   ⑩
杆在磁场中的平均速度为：$\overline{v}$=$\frac{1}{2}$ω（OA+OD）⑪
则在时刻t时金属杆中的电动势E为：E=B（OD-OA）$\overline{v}$⑫
杆在转过90°～180°范围内，金属杆转过角度γ=ωt时，与x轴夹角为α，有
cos²α=cos²（π-ωt）=cos²ωt⑬
联立相关方程解得：E=$\frac{2{m}^{2}{v}^{2}ω}{B}$（$\frac{1}{{q}_{1}^{2}}$-$\frac{1}{{q}_{2}^{2}}$）cos²ωt （ 0≤t≤$\frac{π}{ω}$）⑭
答：（1）求a、b间的电场强度为vB；
（2）在图面内粒子打在水平面c上的位置为：$\frac{2mv}{{q}_{2}B}$≤x≤$\frac{2mv}{{q}_{1}B}$   （q₁ ＞0，q₂＞0）或$\frac{2mv}{{q}_{1}B}$≤x≤$\frac{2mv}{{q}_{2}B}$  （q₁ ＜0，q₂＜0）．
（3）金属杆在c下方运动时其电动势随时间变化的函数表达式为：E=$\frac{2{m}^{2}{v}^{2}ω}{B}$（$\frac{1}{{q}_{1}^{2}}$-$\frac{1}{{q}_{2}^{2}}$）cos²ωt （ 0≤t≤$\frac{π}{ω}$）．

点评 本题考查了求电场强度、粒子打在水平面上的范围、求感应电动势，分析清楚粒子运动过程，应用平衡条件、牛顿第二定律与E=BLv即可正确解题．