Question

6．2013年12月15日4时35分，嫦娥三号探测器顺利登陆月面，这一事件极大地提高了同学们对月球的探索兴趣．若已知月球的质量为M，半径为R，万有引力常量为G，以下是某同学设想的两问题，请你帮他解答．
（1）若在月球上发射一颗绕它运行的卫星，则发射卫星的最小速度v是多少；
（2）若人在月球上荡秋千（不考虑月球自转的影响，将人视为质点，秋千质量不计，秋千的摆角小于90°），在最低点位置给秋千和人一个大小为v₀的初速度，人能上升的最大高度h为多少？

Answer 1

分析 （1）由万有引力提供向心力可确定出月球的第一宇宙速度．
（2）由万有引力提供向心力可得出重力加速度，由机械能守恒确定出人能上升的最大高度．

解答 解：（1）由万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$ 
得第一宇宙速度：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$．
（2）由万有引力等于重力得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$  
对于人由机械能守恒：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ 
得：h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=$\frac{{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{2GM}$
答：1）若在月球上发射一颗绕它运行的卫星，则发射卫星的最小速度v是$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
（2）人能上升的最大高度h为得：h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=$\frac{{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{2GM}$

点评 对于天体问题明确万有引力提供向心力是求解问题的关键，在表面万有引力等于重力．