Question

1．太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为：质量为M的恒星和质量为m的行星（M＞m），在它们之间的万有引力作用下有规则地运动着，我们可认为行星在以某一定点O为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动（如图所示，图中没有表示出恒星）．设万有引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计．求：
（1）恒星与点O间的距离；
（2）恒星运行的周期．

Answer 1

分析 （1）恒星与行星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，相互之间的万有引力提供各自的向心力，而且两颗恒星有相同的角速度和周期．根据牛顿第二定律分别对两星进行列式，来求解．
（2）根据万有引力等于向心力，由牛顿第二定律列式求解恒星的运行周期．

解答 解：（1）恒星和行星做圆周运动的角速度、向心力的大小均相同，则
对行星m，F=mω²R_m…①
对恒星M，F′=Mω²R_M…②
可得R_M=$\frac{m}{M}$a
（2）恒星运动的轨道和位置大致如图，对恒星M有

根据万有引力提供向心力，
$\frac{GMm}{（a+{R}_{M}）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（a+{R}_{M}）}{{T}^{2}}$
解得：T=$2π\sqrt{\frac{（a+\frac{m}{M}）^{3}}{GM}}$
答：（1）恒星与点O间的距离为$\frac{m}{M}$a；（2）恒星运行的周期为$2π\sqrt{\frac{{（a+\frac{m}{M}）}^{3}}{GM}}$．

点评 本题是双星问题，关键抓住两点：一是双星由相互间的万有引力提供向心力；双星的条件是：角速度或周期相等．