Question

9．如图所示，区域Ⅰ内有一长AC=d的矩形匀强磁场，其磁场方向与区域Ⅲ内的磁场方向相同，均垂直纸面向外，且磁感应强度是区域Ⅲ内磁场磁感应强度的3倍，区域Ⅱ宽为d，其内存在与水平方向成60°角斜向左下的匀强电场，区域Ⅲ宽为$\sqrt{3}$d．一质量为m、带电荷量为q的带正电粒子从A点以初速度v₀与边界成θ=30°角垂直磁场方向射入矩形匀强磁场中，并从C点射出而进入匀强电场中，最后粒子恰好垂直区域Ⅲ的右边界从D点（未画出）射出，粒子重力不计，求：
（1）区域Ⅲ中磁场的磁感应强度大小；
（2）匀强电场的电场强度E的大小；
（3）粒子从A点运动到D点所经历的时间．

Answer 1

分析 （1）作出粒子运动轨迹，求出粒子做圆周运动的轨道半径，然后应用牛顿第二定律可以求出磁感应强度．
（2）作出粒子运动轨迹，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的速度，然后应用匀变速直线运动的速度位移公式求出电场强度．
（3）分别求出粒子在三个区域的运动时间，然后求出总的运动时间．

解答 解：（1）粒子在矩形匀强磁场中运动，从C点射出时一定与边界AC成30°角，
即平行电场方向射入电场，粒子运动轨迹如图所示，区域Ⅰ中，由几何知识得：r₁=d，
由牛顿第二定律得：B₁qv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$，解得：B₁=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$，
所以区域Ⅲ中磁场的磁感应强度大小为B=$\frac{m{v}_{0}}{3qd}$．
（2）区域Ⅲ中，由几何知识得：sin 60°=$\frac{\sqrt{3}d}{{r}_{2}}$，即：r₂=2d，
由牛顿第二定律得：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$，解得：r₂=$\frac{mv}{Bq}$，v=$\frac{2{v}_{0}}{3}$，
由匀变速直线运动的速度位移公式得：v²-v₀²=-2$\frac{qE}{m}$•$\frac{d}{cos60°}$，
解得：E=$\frac{5m{v}_{0}^{2}}{36qd}$．
（3）粒子在区域Ⅰ内运动的时间为t₁=$\frac{60°}{360°}$•$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$=$\frac{πd}{3{v}_{0}}$，
粒子在区域Ⅱ内运动的时间为t₂=$\frac{\frac{d}{cos60°}}{\frac{v+{v}_{0}}{2}}$=$\frac{12d}{5{v}_{0}}$，
粒子在区域Ⅲ内运动的时间为t₃=$\frac{60°}{360°}$•$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{πd}{{v}_{0}}$，
所以粒子从A点运动到D点所经历的时间为：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（20π+36）d}{15{v}_{0}}$．
答：（1）区域Ⅲ中磁场的磁感应强度大小为$\frac{m{v}_{0}}{3qd}$；
（2）匀强电场的电场强度E的大小为=$\frac{5m{v}_{0}^{2}}{36qd}$；
（3）粒子从A点运动到D点所经历的时间为$\frac{（20π+36）d}{15{v}_{0}}$．

点评 本题考查了粒子在磁场与电场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹求出粒子做圆周运动的轨道半径是解题的关键，应用牛顿第二定律与运动场公式可以解题．