Question

4．如图所示，将某正粒子放射源置于原点O，其向各方向射出的粒子速度大小均为υ₀、质量均为m、电荷量均为q．在0≤y≤d的一、二象限范围内分布着一个左右足够宽的匀强电场，方向与y轴正向相同，在d＜y≤2d的一、二象限范围内分布着一个左右足够宽的匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里．粒子第一次离开电场上边界y=d时，能够到达的最右侧的位置为（$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$d，d），且最终恰没有粒子从y=2d的边界离开磁场，若只考虑每个粒子在电场中和磁场中各运动一次，不计粒子重力以及粒子间的相互作用，求：
（1）电场强度E和磁感应强度B；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间．

Answer 1

分析 （1）沿x轴正方向发射的粒子做类平抛运动，根据平抛运动基本公式列式求解E；
粒子沿x轴正方向射出的粒子进入磁场偏转的角度最大，若该粒子进入磁场不能打在ab板上，则所有粒子均不能打在板上．根据带电粒子在电场中类平抛运动，求出进入磁场中的偏转角度，结合几何关系得出轨道半径，从而得出磁感应强度的大小；
（2）粒子运动的最长时间对应最大的圆心角，经过（$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$d，d）恰与上边界相切的粒子轨迹对应的圆心角最大，根据几何关系结合周期公式求解

解答 解：（1）沿x轴正方向发射的粒子能够到达最右侧的位置（$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$d，d）．
由类平抛运动规律得：$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}d={υ_0}t$，$y=d=\frac{1}{2}a{t^2}$，其中：$a=\frac{qE}{m}$，解得：$E=\frac{3mυ_0^2}{2qd}$，
设粒子射入磁场时的速度为υ，由动能定理有：$qEd=\frac{1}{2}m{υ^2}-\frac{1}{2}mυ_0^2$，解得：υ=2υ₀，
设射入磁场时的速度方向与水平方向的夹角为α，则有：$cosα=\frac{υ_0}{υ}=\frac{1}{2}$，解得：α=60°，
设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系可知：d=R+R sin30°=1.5R，
粒子在磁场中做圆周运动，洛仑兹力提供向心力：$Bqυ=m\frac{υ^2}{R}$，
将υ=2υ₀、$R=\frac{2}{3}d$代入解得：$B=\frac{{3m{υ_0}}}{qd}$，
（2）粒子运动的最长时间对应最大的圆心角，
经过点（$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$d，d）恰与上边界相切的粒子轨迹对应的圆心角最大．
由几何关系可知最大圆心角：θ_max=240°=$\frac{4π}{3}$，
粒子运动最长时间：${t_{max}}=\frac{4πR}{3υ}=\frac{4πd}{{9{υ_0}}}$，
粒子运动的最短时间对应最小的圆心角，
经过点（-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$d，d）粒子轨迹对应的圆心角最小，
由几何关系可知最小圆心角：θ_min=120°=$\frac{2π}{3}$，
粒子运动最短时间：${t_{min}}=\frac{2πR}{3υ}=\frac{2πd}{{9{υ_0}}}$；
答：（1）电场强度E为$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$，磁感应强度B为$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间为：$\frac{4πd}{9{v}_{0}}$，最短时间为：$\frac{2πd}{9{v}_{0}}$．

点评 本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，关键确定粒子运动的临界情况，通过几何关系解决，对学生数学几何能力要求较高．