Question

2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为98°和北纬α=40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c．试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）．

Answer 1

分析：微波信号传播速度等于光速c，求时间须先求出卫星与嘉峪关的距离．综合运用同步卫星的动力学关系和g=G

M

R2

，解出卫星距地心距离，再结合地球知识，作出相应的几何图形，运用数学知识求出卫星到嘉峪关的距离．

解答：解：设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，
由万有引力定律和牛顿定律有，G

mM

r2

=mrω2①
式中G为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，
有ω=

2π

T

   ②
G

Mm

R2

=mg
得GM=gR²③
设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图1所示，由余弦定理
   L=

L2+R2-2rRcosα

        ④
t=

L

c

所求时间为        ⑤
由以上各式得
  t=

( R2gT 4π2 ) 2 3 +R2-2R( R2gT2 4π2 ) 1 3 cosα c

 ⑥
答：该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间为

( R2gT 4π2 ) 2 3 +R2-2R( R2gT2 4π2 ) 1 3 cosα c

．

点评：解决本题关键要掌握同步卫星的条件，分析向心力的来源，运用万有引力定律、牛顿第二定律和几何关系等等结合进行求解