Question

如图甲，直角坐标系xOy在竖直平面内，x轴上方（含x轴）区域有垂直坐标系xOy向里的匀强磁场，磁感应强度B₀=T；在x轴下方区域有正交的匀强电场和磁场，场强E随时间t的变化关系如图乙，竖直向上为电场强度正方向，磁感应强度B随时间t的变化关系如图丙，垂直xOy平面为磁场的正方向。光滑的绝缘斜面在第二象限，底端与坐标原点O重合，与负x轴方向夹角θ=30°。

一质量m=1×10^-5kg、电荷量q=1×10^-4C的带正电的粒子从斜面上A点由静止释放，运动到坐标原点时恰好对斜面压力为零，以此时为计时起点。求：
（1）释放点A到坐标原点的距离L；
（2）带电粒子在t=2.0s时的位置坐标；
（3）在垂直于x轴的方向上放置一俘获屏，要使带电粒子垂直打在屏上被俘获，屏所在位置的横坐标应满足什么条件？

Answer 1

（1）0.1m；（2）（，）；（3）（n=0，1，2，3......）

试题分析：（1）设带电粒子在斜面上运动的加速度为a，在坐标原点速度为v，则
mgsinθ="ma"
qvB="mgcosθ"
v²=2aL
解得 v=1m/s，L="0.1m"
（2）在0—1s，由乙图知E₁=1N/C，由丙图知，由于有qE₁ = mg，且带电粒子垂直磁场方向进入磁场，所以带电粒子做匀速圆周运动，设其轨道半径为r₁，运动周期为T₁，则
              
解得 m，T₁="12" s
在0—1s，设带电粒子做圆周运动转过圆心角为θ₁，则θ₁=30°   
在1—2s，由乙图知E₂=1N/C，由丙图知T，由于有qE₂= mg，且带电粒子运动方向垂直磁场，所以带电粒子做匀速圆周运动，设其轨道半径为r₂，运动周期为T₂，则
            
解得 m，T₂="4" s
在1—2s，设带电粒子做圆周运动转过圆心角为θ₂，则θ₂=90°    
在0—2s内带电粒子运动轨迹如图，设t=2s时，粒子所在位置坐标为（x₀，y₀），则

 

所以，t=2s时，粒子所在位置坐标为
（，） 
（3）在2—3s内，由乙图知E₃=1.2N/C，由丙图知B₃=0，由于有qE₃>mg ，带电粒子运动方向沿负y轴即竖直向下，所以先向下做匀减速直线运动，设减速运动的加速度大小为a，减速到零经过的时间为t₀，则
qE₃－mg = ma            
v=at₀                   
解得 t₀="0.5" s
然后粒子向上加速运动0.5s，回到2s末的位置，速度大小也与2s末时相同，方向竖直向上。
在3—5s内，由乙图知E₄=1N/C，由丙图知T，做半个圆周运动，运动方向竖直向下；在5—6s内，重复2—3s内的运动；在6—8s内，重复3—5s内的运动。以后循环，运动轨迹如图所示。设俘获器放置的位置横坐标为x，则
     （n=0，1，2，3......） 
即           （n=0，1，2，3......）