Question

5．如图甲所示，两间距为d的水平放置的平行金属板M、N，M板某处C放有粒子源，C的正上方的N板D处开有一个可穿过粒子的小孔．间距L=2d的平行金属导轨P、Q与金属板M、N相连，导轨上存在一垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，一导体棒ab贴紧PQ以一定的初速度向右匀速进入磁场．在ab进入磁场的瞬间，粒子源飘出一个初速度视为零、质量为m、带电量为q的粒子，在M、N间加速后从D处射出．在N板的上方（并与D点相切）有一个内圆半径R₁=d、外圆半径R₂=3d的圆环形匀强磁场，其大小也为B、方向垂直纸面向外，两圆的圆心O与C、D在一竖直线上．不计粒子重力，忽略平行板外的电场以及磁场间的相互影响．
（1）C处飘出的粒子带何种电荷？已知ab棒的速度为v₀，求粒子到达N板时速度v；
（2）为了不让粒子进入内圆半径为R₁的无磁场区域，试求出ab棒的速度v₀最大值v_0m；
（3）若ab棒的速度只能是${v'_0}=\frac{5qBd}{m}$，为了实现粒子不进入半径为R₁的内圆无磁场区域，可以控制金属导轨P、Q的磁场宽度（如图乙所示），求该磁场宽度S的范围．

Answer 1

分析 （1）依据右手定则，从而判定粒子的电性，再依据感应电动势公式，结合动能定理，即可求解；
（2）依据题意作出最大半径的圆，再根据几何关系，结合洛伦兹力提供向心力，即可求解；
（3）为了实现粒子不进入半径为R₁的内圆无磁场区域，结合运动学规律，及牛顿第二定律，从而求得磁场宽度S的范围．

解答 解：（1）根据右手定则可知，a端为正极，故带电粒子必须带负电．   
ab棒切割磁感线，产生的电动势为：E_势=BLv₀=2Bdv₀…①
对于粒子，根据动能定理为：qU_DC=qE_势=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…②
联立①②两式，可得：v=2$\sqrt{\frac{Bd{v}_{0}q}{m}}$…③
（2）为了不让粒子进入内圆半径为d的无磁场区域，则粒子最大半径r时的轨迹与内圆相切，
如图所示．设此时粒子速度为v′

根据几何关系：r²+R${\;}_{2}^{2}$=（R₁+r）²…④
计算得到：r=4d…⑤
根据洛伦兹力提供向心力有：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$…⑥
由⑤⑥得：v′=$\frac{4qBd}{m}$…⑦
根据粒子速度v与ab棒速度v₀的关系式③得：v′=2$\sqrt{\frac{Bd{v}_{0m}q}{m}}$…⑧
所以ab棒的速度v₀的最大值为：v_0m=$\frac{4qBd}{m}$                           
（3）因为v${\;}_{0}^{′}$=$\frac{5qBd}{m}$＞v_0m=$\frac{4qBd}{m}$，故如果让粒子一直在MN间加速，则必然进入内圆无磁场区．
而如果能够让粒子在MN间只加速一部分距离，用时间t，再匀速走完剩下的距离，就可以让粒子的速度不超过v′．
这时只需ab棒在磁场中运动一段距离．
设导轨磁场最大宽度为S时粒子恰好不会进入内圆无磁场区，此情况下
由⑦式可知，粒子从D点射出的速度为：v′=at=$\frac{4qBd}{m}$…⑨
粒子在MN间加速的加速度为：a=$\frac{q{E}_{场}}{m}$=$\frac{q{E}_{势}}{md}$=$\frac{2Bd{v}_{0}^{′}q}{dm}$=$\frac{10{B}^{2}{q}^{2}d}{{m}^{2}}$…⑩
由⑨⑩解得：t=$\frac{2m}{5Bq}$                    
对于ab棒：s=v${\;}_{0}^{′}$t=2d              
磁场宽度范围：0＜s≤2d
答：（1）粒子到达N板时速度2$\sqrt{\frac{Bd{v}_{0}q}{m}}$；
（2）ab棒的速度v₀最大值$\frac{4qBd}{m}$；
（3）该磁场宽度S的范围0＜s≤2d．

点评 考查右手定则的内容，掌握动能定理、运动学规律与牛顿第二定律的应用，理解几何知识，注意如何确定已知长度与圆半径的关系，并会画出正确的运动轨迹图也是解题的关键．