Question

13．如图所示，M、N两金属板之间有向右的加速电场，两板之间电压为U₁；P、Q两板的间距为L₁，两板之间有一磁感应强度大小为B、方向水平向行的匀强磁场，两板正中央有一块与水平中心轴线成45°角的硬质塑料狭长薄板；在Q板右侧长度为L₂、宽度为D的矩形区域内（见图中虚线矩形abcd区域）有一电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场．一质量为m、电量为q的带电粒子从M板的小孔处以极小的初速度沿着中心轴线进入加速电场，经加速后从N板的小孔处沿着中心轴线水平向右射出，并从P板的小孔处水平射入匀强磁场中，粒子在途中与硬质塑料狭长板发生完全弹性碰撞．最后粒子运动到Q板并从Q板的小孔中水平射出而进入Q板右侧的电场区域内．不计粒子所受重力、空气阻力及碰撞时见，试求：
（1）粒子从N板射出时刻的速率；
（2）粒子从P板小孔运动到Q板小孔经历的时间；
（3）粒子在Q板右侧矩形abcd区域电场中的运动时间．

Answer 1

分析 （1）在加速电场中有动能定理求得速度；
（2）在PQ间粒子开始做匀速直线运动，在与硬质狭长塑料板发生完全弹性碰撞后，粒子的速度垂直于磁场，将在垂直于磁场平面内做匀速圆周运动，运动一周后又与塑料板的另一面发生完全弹性碰撞，碰撞后，粒子速度沿磁场方向（即沿中心轴线）向右运动，即可求得时间；
（3）粒子进入竖直向下的匀强电场中，做类平抛运动，即水平方向上做匀速运动，竖直方向上做匀加速运动分情况判断运动时间即可

解答 解：（1）设粒子经加速电场后射出的速度大小为秒，则有：$q{U}_{1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$v=\frac{\sqrt{2q{U}_{1}}}{m}$
（2）粒子从P板小孔射入后，开始做匀速直线运动，在与硬质狭长塑料板发生完全弹性碰撞后，粒子的速度垂直于磁场，将在垂直于磁场平面内做匀速圆周运动，运动一周后又与塑料板的另一面发生完全弹性碰撞，碰撞后，粒子速度沿磁场方向（即沿中心轴线）向右运动，所以粒子从P到Q经历的时间为t=t₁+t₂，
其中做匀速直线运动的时间为：${t}_{1}=\frac{{L}_{1}}{v}$
做匀速圆周运动的时间为：${t}_{2}=\frac{2πm}{qB}$
粒子从P到Q经历的时间为：$t=\frac{m{L}_{1}\sqrt{2q{U}_{1}}}{2q{U}_{1}}+\frac{2πm}{qB}$
（3）粒子进入竖直向下的匀强电场中，做类平抛运动，即水平方向上做匀速运动，竖直方向上做匀加速运动．
设粒子恰好从C点飞出矩形区域电场，则在水平方向由L₂=vt
竖直方向有：$\frac{D}{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
又$a=\frac{qE}{m}$
解得：$E=\frac{2D{U}_{1}}{{L}_{2}^{2}}$
①当满足$E≤\frac{2D{U}_{1}}{{L}_{2}^{2}}$，粒子从bc边离开电场
在电场中运动的时间为：${t}_{3}=\frac{{L}_{2}}{v}=\frac{m{L}_{2}\sqrt{2q{U}_{1}}}{2q{U}_{1}}$
②当满足$E＞\frac{2D{U}_{1}}{{L}_{2}^{2}}$时，粒子从cd边离开电场，设其运动时间为t₄
由$\frac{D}{2}=\frac{1}{2}{at}_{4}^{2}$
又a=$\frac{qE}{m}$
解得：${t}_{4}=\frac{\sqrt{qmDE}}{qE}$
答：（1）粒子从N板射出时刻的速率为$\frac{\sqrt{2q{U}_{1}}}{m}$；
（2）粒子从P板小孔运动到Q板小孔经历的时间为$\frac{m{L}_{1}\sqrt{2q{U}_{1}}}{2q{U}_{1}}+\frac{2πm}{qB}$；
（3）粒子在Q板右侧矩形abcd区域电场中的运动时间为$\frac{m{L}_{2}\sqrt{2q{U}_{1}}}{2q{U}_{1}}$或$\frac{\sqrt{qmDE}}{qE}$

点评 本题主要考查了带电粒子在复合场中的运动，关键是找出粒子运动的轨迹，利用运动学公式求的时间