Question

9．已知物体在地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v=$\sqrt{\frac{2G{M}_{E}}{{R}_{E}}}$其中G、M_E、R_E分别是万有引力常量、地球的质量和地球的半径．设真空中光速为c．
（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞．设某黑洞的质量等于太阳的质量M_S，求它的可能最大半径？
（2）在目前天文观测范围内，宇宙的平均密度为ρ（大约为10^-27kg/m³），如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于真空中的光速c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙半径至少多大？

Answer 1

分析 （1）任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速，根据c≤$\sqrt{\frac{2G{M}_{E}}{{R}_{E}}}$即可求解；
（2）根据质量与密度的关系先求出质量，根据（1）的分析即可求解

解答 解：（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v₂=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，
其中M、R为天体的质量和半径．
对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，
即v₂＞c，
所以?R＜$\frac{2G{M}_{s}}{{C}^{2}}$，因此最大半径为$\frac{2G{M}_{s}}{{C}^{2}}$．
（2）M=ρ•$\frac{4}{3}$πR³，其中R为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，
则宇宙所对应的逃逸速度为v₂=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，
即v₂＞c，
则R＞$\sqrt{\frac{3{C}^{2}}{8πρG}}$
答：（1）最大半径为$\frac{2G{M}_{s}}{{C}^{2}}$．
（2）宇宙半径至少为$\sqrt{\frac{3{C}^{2}}{8πρG}}$

点评 本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．