Question

4．某种透明物质的直角三棱镜，其横截面如图所示．∠A=30°，AB边长为L，O为AB边中点．一条光线从O点垂直于AB面入射，接着入射光线绕O点逆时针旋转，入射角由0⁰逐渐增大，达到某一值时，观察到AC面恰好无光线射出，而在BC面有光线垂直BC射出．求
（1）该三棱镜折射率n；
（2）入射光线逆时针旋转到与法线成45°过程中，AC边有光线折射出的区域的长度．

Answer 1

分析 （1）根据题意，画出光路图，由几何关系得到全反射临界角，再由临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求得折射率．
（2）结合上题的结果，由折射定律求出θ．考虑光线垂直AB入射的情况，再结合全反射条件分析．

解答 解：（1）由题意可知，光线射向AC面恰好发生全反射，反射光线垂直于BC面射出，光路图如图所示．
透明物体的临界角为C，则 C=α=60° ①
由sinC=$\frac{1}{n}$ ②
得   n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ③
（2）射向AC面的光线恰好发生全反射，光从AB面入射，入射角为θ．
则折射角 β=30° ④
由n=$\frac{sinθ}{sinβ}$ ⑤
解得 sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜45° ⑥
当光线垂直于AB入射时，从AC面上D点射出
当光线以θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$从AB面入射，在棱镜内沿OE射到AC面上E点，恰好发生全反射，继续增大入射角，射到AC面的光均发生全反射．
因此，从AC边有光折射出的光的区域为DE段
且 $\overline{DE}$=$\overline{OD}$=$\overline{AD}$tan30°=$\frac{L}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$L ⑥
答：
（1）该三棱镜折射率n是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）入射光线逆时针旋转到与法线成45°过程中，AC边有光线折射出的区域的长度是$\frac{\sqrt{3}}{6}$L．

点评 几何光学画出光路图是解题的关键．本题还要掌握全反射的条件和临界角公式，并用来解决实际问题．