Question

18．光滑水平面上有一质量为m的静止物体，在第一个ts内受到水平向东的恒力F，ts末撤去F，紧接着改为作用一个向北的作用力F，也作用ts，求2ts末
①物体速度v的大小和方向
②物体在2ts内的位移大小．

Answer 1

分析 （1）第一个ts内物体做初速度为零的匀加速直线运动，利用速度时间公式求出ts末的速度v₁，第二个ts内物体向东以速度v₁做匀速直线运动，向北做初速度为零的匀加速直线运动，利用速度时间公式求出向北的速度v₂，最后向东向北的速度合成即为物体的速度v；
（2）根据位移时间公式求出ts内向东的位移，力的方向改变后，在向东的方向上做匀速直线运动，向北的方向上做匀加速直线运动，分别求出两个分位移，结合平行四边形定则求出物体在2ts内的位移大小．

解答 解：（1）由牛顿第二定律得：
第一个ts内的加速度为：${a}_{1}=\frac{F}{m}$
第二个ts内的加速度为：${a}_{2}=\frac{F}{m}$
根据速度时间公式可得：
ts末向东的速度为：${v}_{1}={a}_{1}t=\frac{Ft}{m}$ 
2ts末向北的速度为：${v}_{2}={a}_{2}t=\frac{Ft}{m}$
所以2ts末物体的速度如图所示：

由几何关系得2ts末物体的速度大小为：$v=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}}=\frac{\sqrt{2}Ft}{m}$
方向东偏北$tanα=\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=1$，解得α=45°即东偏北45°角；
（2）第一个ts内正东方向的位移为：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{F{t}^{2}}{2m}$
第二个ts内正东方向的位移为：${x}_{2}={v}_{1}t=\frac{F{t}^{2}}{m}$
正北方向的位移为；$y=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=\frac{F{t}^{2}}{2m}$
2ts内物体的位移如图所示；

有几何关系得物体2ts内的位移大小为；$s=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}F{t}^{2}}{2m}$
方向：$tanβ=\frac{y}{x}=\frac{1}{3}$即：$β=arctan\frac{1}{3}$即东偏北$arctan\frac{1}{3}$度角
答：①物体速度v的大小为$\frac{\sqrt{2}Ft}{m}$，方向东偏北45°角；
②物体在2ts内的位移大小$\frac{\sqrt{10}F{t}^{2}}{2m}$．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁，知道分运动与合运动具有等时性