Question

8．如图所示，一个人站在半径为R的半球形山包的最高点，将一小球以初速度v₀水平抛出，小球抛出点离山包最高点距离为h，且h=R，已知重力加速度g=10m/s²，问：
（1）若小球落到水平面上，求小球下落的时间．
（2）若h=R，要使小球落到水平地面上，初速度v₀应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）小球抛出后做平抛运动，下落的时间由下落的高度决定，根据自由落体运动的规律求时间．
（2）要使小球落到水平地面上，小球的运动轨迹恰好与圆相切，根据小球水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由位移公式和速度公式结合求解初速度v₀．

解答 解：（1）小球抛出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有：
h+R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{2（h+R）}{g}}$
（2）小球恰好落到水平地面上时，小球的运动轨迹恰好与圆相切，设相切处速度与竖直方向的夹角为α．根据位移公式，竖直方向有：
2R-Rsinα=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向有：Rcosα=v₀t
根据速度的分解有：v₀=v_ytanα=gttanα
联立解得：v₀=$\sqrt{（2+\sqrt{3}）gR}$
所以要使小球落到水平地面上，初速度v₀应满足v₀≥$\sqrt{（2+\sqrt{3}）gR}$．
答：（1）若小球落到水平面上，小球下落的时间是$\sqrt{\frac{2（h+R）}{g}}$．
（2）若h=R，要使小球落到水平地面上，初速度v₀应满足的条件是：v₀≥$\sqrt{（2+\sqrt{3}）gR}$．

点评 本题的关键抓住挖掘隐含的几何关系，根据水平位移和竖直位移的关系，运用运动的分解法进行研究．要注意小球恰好落到水平地面上时水平位移并不是R．