Question

某起重机把重为500kg的货物从静止吊起，使货物沿竖直方向运动，已知吊绳能够承受最大拉力为10000N，起重机最大输出功率10kW，（空气阻力忽略不计取g=10m/s²）
求：
（1）若起重机以最大功率吊起货物，当升高到2m时速度达到最大．则货物的最大速度是多少？这一过程所用时间是多少？
（2）若货物被匀加速从静止提升，加速度的最大值为多少？此情形下起重机输出功率达到最大值后又保持功率不变继续提升货物，发现从静止共经2秒货物速度达到最大值，则整个过程中货物被提升的高度为多少？

Answer 1

（1）速度最大时候，牵引力等于重力，由此可得：
vm=

P

mg

=

10×103

500×10

m/s=2m/s，
由动能定理可得：
Pt-mgh=

1

2

mv2，
解得：
t=

1 2 mv2+mgh

P

=

1 2 ×500×22+500×10×2

10×103

=1.1s．
（2）绳的拉力最大时，货物加速度最大，由牛顿第二定律可得：
a=

F-mg

m

=

10000-500×10

500

=10m/s2，
匀加速运动的末速度为：
v=

P

F

=

10×103

10000

=1m/s，
匀加速运动的时间为：
t1=

v

a

=

1

10

=0.1s，
位移为：
h1=

v2

2a

=

12

2×10

=0.05m，
恒功率的时间为：
t₂=2-0.1=1.9s，
由动能定理可得恒功率过程：
Pt-mgh2=

1

2

mvm2-

1

2

mv2，
解得：
h2=

10×103×1.9- 1 2 ×500×22+ 1 2 ×500×12

500×10

=3.65m．
故总位移为：
h=h₁+h₂=0.05+3.65=3.7m．
答：（1）若起重机以最大功率吊起货物，当升高到2m时速度达到最大．则货物的最大速度是2m/s，这一过程所用时间1.1s．
（2）若货物被匀加速从静止提升，加速度的最大值为10m/s²，则整个过程中货物被提升的高度为3.7m．