Question

5．如图1所示，两条足够长的光滑水平轨道MN和PK相距L=0.4m，右端接一阻值为R=0.3Ω的电阻，导轨上放一质量为m=2kg、电阻为r=0.1Ω的导体棒cd，在ab以左的区域存在匀强磁场，磁场的磁感应变化规律如图2所示（设磁感应强度向上为正）．开始时cd棒与ab相距x₀=4m．

（1）为了使棒在t=0到t=10s时间内保持静止，可在棒上施加一个大小随时间变化的水平力F，设向右为正方向，请求出t=5s时能过电阻R的电流；
（2）写出上一问题中水平力F随时间变化的关系式；
（3）当t=10s时，保持水平拉力的大小不变，而使拉力的方向水平向左，求稳定后棒的最大速度是多少？
（4）当棒达到最大速度后撤去水平拉力，求撤去拉力后还能滑行多远？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合闭合电路欧姆定律，即可求解；
（2）根据安培力表达式，结合磁感应强度的表达式，及平衡条件，即可求解；
（3）由拉力的表达式，求得t=10s时，拉力大小，再结合安培力大小公式，当处于平衡时，安培力等于拉力大小，从而即可求解最大速度；
（4）撤去拉力后，棒做变减速运动，根据牛顿第二定律，用积分法求出距离．

解答 解：（1）0～10s内，k=$\frac{△B}{△t}$=$\frac{4-（-4）}{10}$=0.8T/s，
电动势为：E=kLx₀=0.8×0.4×4V=1.28V     
感应电流为：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{1.28}{0.3+0.1}$A=3.2A；                                 
（2）0～10s内，磁感应强度表达式为：B=0.8t-4                        
安培力为：F_B=BIL=1.28（0.8t-4）N=（1.024t-5.12）N                                         
导体棒受力平衡，施加外力为：F=-F_B=（-1.024t+5.12）N；                       
（3）当t=10s时，施加的拉力大小为F=51.2N，方向水平向左；
 而安培力表达式为：F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$，
当F_A=F时，速度达到最大，则有：${v}_{m}=\frac{R+r}{{B}^{2}{L}^{2}}F$=$\frac{0.3+0.1}{{4}^{2}×{4}^{2}}×51.2$=0.64m/s；               
（4）撤去拉力后对棒由牛顿第二定律得：-F_安=ma
即：-B$\frac{BLv}{R+r}$L=m$\frac{△v}{△t}$
∑-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$△t=∑m$\frac{△v}{△t}$×△t
-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$∑v△t=∑m△v
即得：-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$x=m（0-v）
代入解得：x=$\frac{0.3+0.1}{{4}^{2}×{4}^{2}}×2×0.64$=0.016m；
答：（1）则t=5s时能过电阻R的电流3.2A；
（2）写出上一问题中水平力F随时间变化的关系式F=（-1.024t+5.12）N；
（3）稳定后棒的最大速度是0.64m/s；
（4）撤去拉力后还能滑行0.016m．

点评 考查法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律，及牛顿第二定律的应用，掌握运动学公式选取，理解平衡条件的运用，难点是第（4）求位移．对于非匀变速运动，常常根据牛顿第二定律，用积分法求解位移．