Question

如图所示，竖直平面内的轨道由一半径为4R、圆心角为的圆形的光滑滑槽C₁和两个半径为R的半圆形光滑滑槽C₂、C₃以及一个半径为2R的半圆形光滑圆管C₄组成，C₄内径远小于R。C₁、C₂、C₃、C₄各衔接处平滑连接。现有一个比C₄内径略小的、质量为m的小球，从与C₄的最高点H等高的P点以一定的初速度向左水平抛出后，恰好沿C₁的A端点沿切线从凹面进入轨道。已知重力加速度为g。求：

（1）小球在P点开始平抛的初速度的大小；
（2）小球能否依次顺利通过C₁、C₂、C₃、C₄各轨道而从I点射出？请说明理由；
（3）小球运动到何处，轨道对小球的弹力最大？最大值是多大？

Answer 1

（1） （2）能，见解析    （3）F 

试题分析：(1) 小球从P到A，竖直方向做自由落体运动：        （1分）
解得：          （1分）
在A点，由速度关系：        （1分）
求得：    （1分)
（2）若小球能过D点，则D点速度满足，即     （1分）
小球从P到D由机械能守恒得：        （1分）
解得：   （1分）
若小球能过H点，则H点速度满足:
小球从P到H由机械能守恒得：      （1分）
综上所述小球能依次顺利通过C1、C2、C3、C4各轨道从I点射出      （1分）
（3）小球在运动过程中，轨道给小球的弹力最大的点只会在圆轨道的最低点，B点和F点都有可能
小球从P到B由机械能守恒得：    （1分）
在B点轨道给小球的弹力满足:       （1分）
解得：       （1分）
小球从P到F由机械能守恒得：        （1分）
在F点轨道给小球的弹力满足:     （1分）
解得：       （1分）
比较B、F两点的情况可知：F点轨道给小球的弹力最大，为                        （1分）