Question

6．如图所示，AB是一个固定在竖直面内的弧形轨道，与竖直圆形轨道BCD在最低点B平滑连接，且B点的切线是水平的；BCD圆轨道的另一端D与水平直轨道DE平滑连接．B、D两点在同一水平面上，且B、D两点间沿垂直圆轨道平面方向错开了一段很小的距离，可使运动物体从圆轨道转移到水平直轨道上．现有一无动力小车从弧形轨道某一高度处由静止释放，滑至B点进入竖直圆轨道，沿圆轨道做完整的圆运动后转移到水平直轨道DE上，并从E点水平飞出，落到一个面积足够大的软垫上．已知圆形轨道的半径R=0.40m，小车质量m=2.5kg，软垫的上表面到E点的竖直距离h=1.25m、软垫左边缘F点到E点的水平距离s=1.0m．不计一切摩擦和空气阻力，弧形轨道AB、圆形轨道BCD和水平直轨道DE可视为在同一竖直平面内，小车可视为质点，取重力加速度g=10m/s²．
（1）要使小车能在竖直圆形轨道BCD内做完整的圆周运动，则小车通过竖直圆轨道最高点时的速度至少多大；
（2）若小车恰能在竖直圆形轨道BCD内做完整的圆周运动，则小车运动到B点时轨道对它的支持力多大；
（3）通过计算说明要使小车完成上述运动，其在弧形轨道的释放点到B点的竖直距离应满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）小车在最高点，重力和轨道的压力的合力提供向心力，当压力为零时，速度最小，根据牛顿第二定律列式即可求解；
（2）根据机械能守恒定律求出小车通过B点的速度，在B点，根据牛顿第二定律列式即可求解；
（3）小车从E点水平飞出后做平抛运动，根据平抛运动的基本公式结合机械能守恒定律即可求解．

解答 解：（1）设小车能在竖直圆形轨道BCD内做完整的圆周运动，小车通过圆轨道最高点时的最小速度为v_C，
根据牛顿第二定律有 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 v_C=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$m/s=2.0m/s 
（2）小车恰能在圆轨道内做完整的圆周运动，此情况下小车通过B点的速度为v_B，轨道对小车的支持力为F_N．
根据机械能守恒定律有  $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv_C²+2mgR  
解得：v_B=2$\sqrt{5}$m/s
根据牛顿第二定律有  F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得  F_N=150N    
（3）设小车从E点水平飞出落到软垫上的时间为t，则 h=$\frac{1}{2}$gt²
解得 t=0.50s
设小车以v_E的速度从E点水平飞出落到软垫F点右侧，则 v_Et＞s，解得 v_E＞2.00m/s
要使小车完成题目中所述运动过程，应当满足两个条件：
①小车通过轨道B点的速度 v_B≥2$\sqrt{5}$m/s；
②小车通过E点的速度v_E＞2.00m/s
因为v_B=v_E
综合以上两点，小车通过B点的速度应不小于v_B=2$\sqrt{5}$m/s，
设释放点到B点的竖直距离为H，根据机械能守恒定律有 mgH=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得 H=1.0m
则释放点到B点的竖直距离 H≥1.0m
答：（1）要使小车能在竖直圆形轨道BCD内做完整的圆周运动，则小车通过竖直圆轨道最高点时的速度至少为2m/s；
（2）若小车恰能在竖直圆形轨道BCD内做完整的圆周运动，则小车运动到B点时轨道对它的支持力多大为150N；
（3）通过计算说明要使小车完成上述运动，其在弧形轨道的释放点到B点的竖直距离应满足H≥1.0m．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律、平抛运动基本公式、机械能守恒定律的应用．对于圆周运动，涉及力的问题，往往根据向心力进行分析处理．