Question

18．一直角三棱镜，截面如图所示．∠A=30°，∠C=90°，BC边长为2$\sqrt{3}$L，一很大的光屏MN平行于BC，竖直放置在相距BC为2L处，棱镜材料的折射率n=$\sqrt{3}$，一簇平行于AC的平行光线射到AB面上．
（1）请画出通过棱镜的典型光路①、②并标注或说明有关角度；
（2）求屏上被光照亮部分的竖直长度．

Answer 1

分析 （1）平行光束经棱镜第一次折射后，可能射到AC面上，再从BC面折射到光屏上．也可能直接射到BC面上，经过第二次折射射到光屏上．画出光路图．
（2）根据折射定律求出折射角，结合光路图和几何知识求解屏上被光照亮部分的竖直长度．

解答 解：（1）如图所示，由几何关系得，射向AB中点D的光线入射角 α=60°，设折射角为β
由折射定律得 n=$\frac{sinα}{sinβ}$=$\sqrt{3}$，可得 β=30°，所以该光线经过AB面折射后恰好通过C点．
设棱镜的全反射临界角为C，由sinC=$\frac{1}{n}$得 sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C＜60°
从AD间射入棱镜的光线，射到AC面上时入射角为60°，大于C，所以这些光线在AC面上发生全反射，反射光线射到BC面上时入射角为30°，再射出BC面，光路如图②所示．
从DC段入射的光线经介质折射后平行于DC，以30°的入射角射向BC，折射角为60°．光路如图①所示．
（2）从DB段入射的光线经棱镜两次折射后，照到光屏上的长度为 L₁=BC=2$\sqrt{3}$L
从AD段入射的光线经介质平行于CD，以60°的入射角射向AC，在AC面上发生全反射后再以30°的入射角射向BC，折射角为60°，射到光屏上的长度为 L₂=BC=2$\sqrt{3}$L
故屏上被光照亮部分的竖直长度为 L=L₁+L₂=4$\sqrt{3}$L
答：
（1）画出通过棱镜的典型光路①、②如图．
（2）屏上被光照亮部分的竖直长度为4$\sqrt{3}$L．

点评 本题的解题关键是正确作出光路图，注意分析临界光线，当光从光密介质射入光疏介质时要考虑能否发生全反射，根据几何知识和折射定律求解入射角和折射角．