Question

如图所示是一种磁动力电梯的模拟机，即在竖直平面上有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=1T，两磁场始终竖直向上作匀速运动．电梯桥厢固定在如图所示的一个用超导材料制成的金属框abcd内（电梯桥厢在图中未画出），并且与之绝缘．电梯载人时的总质量为750kg，所受阻力f=500N，金属框垂直轨道的边长L_cd=2m，两磁场的宽度均与金属框的边长L_ac相同，金属框整个回路的电阻R=6×10^-3Ω，假如设计要求电梯以v₁=10m/s的速度向上匀速运动，那么，
（1）磁场向上运动速度v₀应该为多大？
（2）在电梯向上作匀速运动时，为维持它的运动，外界必须提供能量，那么这些能量是由谁提供的？此时系统的效率为多少？

Answer 1

（1）当电梯向上用匀速运动时，金属框中感应电流大小为
    I=

2B1Lcd(v0-v1)

R

     ①
金属框所受安培力F=2B₁IL_cd  ②
由平衡条件知：安培力大小与重力和阻力之和相等，即有
   F=mg+f         ③
由①②③式求得：v₀=13m/s．
（2）运动时电梯向上运动的能量由磁场提供的．
磁场提供的能量分为两部分，一部分转变为金属框的内能，另一部分克服电梯的重力和阻力做功．当电梯向上作匀速运动时，金属框中感应电流由①得：
  I=2×10³A
金属框中的焦耳热功率为：P₁=I²R=2.4×10⁴W  ④
而电梯的有用功率为：P₂=mgv₁=7.5×10⁴W    ⑤
阻力的功率为：P₃=f v₁=5×10³W            ⑥
从而系统的机械效率 η=

P2

P1+P2+P3

×100%  ⑦
代入解得 η=72.1%               ⑧
答：
（1）磁场向上运动速度v₀应该为是13m/s．
（2）在电梯向上作匀速运动时，为维持它的运动，外界必须提供能量，那么这些能量是由磁场提供的，此时系统的效率为72.1%．