Question

16．如图所示，在竖直平面内固定一半径为R的光清圈轨道，a点为最高点，d点为最低点，C点与圆心O等高，a、b间距为R．一轻质弹簧的原长为1.5R，它的一端固定在a点，另一端系一小圆环，小圆环套在圆轨道上．某时刻，将小圆环从b点由静止释放，小圆环沿轨道下滑并通过d点．已知重力加速度大小为g，下列判断正确的是（　　）

• A． 小圆环从b点运动至c点的过程中先加速后减速
• B． 小圆环从b点运动至d点的过程中，弹簧弹力对其先做正功后做负功
• C． 小圆环运动至c点时的速度大于$\sqrt{gR}$
• D． 小圆环运动至d点时的速度小于$\sqrt{3gR}$

Answer 1

分析 小圆环从b点运动至c点的过程中，重力和弹簧的弹力要对小圆环做功，根据做功情况分析速度的变化．小圆环从b点运动至d点的过程中，根据弹力的性质分析弹力做功正负．根据弹簧和圆环系统的机械能守恒求c点和d点的速度．

解答 解：A、小圆环至c点时弹簧的长度为$\sqrt{2}$R＜1.5R，所以小圆环从b点运动至c点的过程中，弹簧一直处于压缩状态，弹簧的弹力对小圆环做正功，重力对小圆环也做正功，轨道对小圆环不做功，所以小圆环的动能一直增大，速度一直增加．故A错误．
B、小圆环从b点运动至d点的过程中，弹簧先压缩后伸长，则弹簧的弹力对其先做正功后做负功，故B正确．
C、小圆环从b点运动至c点的过程中，根据动能定理得：mgRcos60°+W_弹=$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$，W_弹＞0，得 v_c＞$\sqrt{gR}$，故C正确．
D、小圆环从b点运动至d点的过程中，取d点为零势能参考点，根据弹簧和圆环系统的机械能守恒得：$\frac{1}{2}k{x}_{b}^{2}$+mgR（1+cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{d}^{2}$+$\frac{1}{2}k{x}_{d}^{2}$
由于x_b=x_d=0.5R，可得mgR（1+cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{d}^{2}$，解得 v_d=$\sqrt{3gR}$．故D错误．
故选：BC

点评 解决本题的关键是要根据几何关系分析弹簧的状态是压缩还是伸长，根据系统的机械能守恒或动能定理研究小圆环的速度．