Question

如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg．求：
（1）在最高点时，小球A、B的速率分别为多大？
（2）小球A刚进入管内时的速率；
（3）A、B两球落地点间的距离．

Answer 1

分析：（1）根据最高点时两球所受外力充当向心力，由向心力公式可求得两小球的速率；
（2）由机械能守恒可求得小球A刚进入管内时的速率；
（3）由平抛运动的公式可求得两球的水平位移，则可求得两球的距离．

解答：解：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．
（1）对A球：3mg+mg=m

v 2 A

R

解得：v_A=

4gR

对B球：mg-0.75mg=m

v 2 B

R

解得：v_B=

1 4 gR

A、B两球的速度分别为2

gR

、

gR

2

；
（2）两球在管中由于支持力不做功，故机械能守恒；
由机械能守恒可得：mg2R=

1

2

mv²-

1

2

mv_A²；
代入V_A，解得：v=2

gR

故小球刚进入管内时的速率为2

gR

；
（3）s_A=v_At=v_A

4R g

=4R
s_B=v_Bt=v_B

4R g

=R
∴s_A-s_B=3R
两小球相距3R．

点评：本题考查圆周运动及平抛运动的规律，注意竖直面内的圆周运动，由于支持力不做功只有重力做功，故常用机械能守恒求解，机械能守恒注意表达式的选择．