Question

15．如图甲是用汽车打捞水下物体的示意图．汽车在通过滑轮牵引水下一个圆柱形的重物．在整个打捞过程中，汽车以恒定的速度v=0.2m/s向右移动，图乙是此过程中汽车拉动重物时的功率P随时间t变化的图象．设t=0时汽车开始提升圆柱形重物，忽略水的阻力、绳重、滑轮重和各处摩擦，g取10m/s²，求

（1）圆柱形重物的质量？
（2）圆柱形重物的密度？
（3）打捞前，圆柱形重物上表面所受水的压力？
（4）从汽车开始拉物体到圆柱形物体刚好离开水面，这一过程中汽车所做的功是多少？

Answer 1

分析 （1）由图象可知，物体出水后的汽车功率是P₂，根据P=FV变形可求出拉力F，因为是匀速提升，所以G=F．
再根据G=mg变形求出质量．
（2）根据ρ=$\frac{m}{V}$，要算密度需要知道质量和体积．质量已求出，算出体积即可．
根据（1）中方法可求出物体出水前物体受到的拉力出F₁，再由物体的重力，根据F_浮=G-F₁，可求出浮力，然后根据阿基米德定律，可求出物体的体积．
（3）先根据打捞开始到物体出水所用的时间和速度求出打捞前物体上表面的深度，由P=ρgh求出压强．
再由重物出水所用的时间和速度求出圆柱体的高度，由V=Sh变形求出圆柱体的底面积，再由F=PS求出压力．
（4）在水里根据W=Pt求得做功，圆柱体脱离水面的过程根据动能定理求得

解答 解：（1）由图可知：汽车在AB段的功率为P₁．速度为0.2m/s，根据P=$\frac{W}{t}$=FV可求出汽车在AB段对物体的拉力为
F₁=$\frac{{P}_{1}}{{v}_{1}}$
同理，汽车在CD段对物体的拉力为．F₂=$\frac{{P}_{2}}{{V}_{2}}$．
取物体为研究对象，在AB段物体受重力G、浮力F_浮、拉力F₁三个力的作用，因物体匀速上升，
所以G-F_浮=F₁…①
物体在CD段受两个力的作用，故G=F₂=$\frac{{P}_{2}}{v}$…②
所以，重物的质量为：m=$\frac{G}{g}$=$\frac{{P}_{2}}{vg}$．
（2）由①和②式可解出F_浮=G-F₁=$\frac{{P}_{2}}{v}-\frac{{P}_{1}}{v}$．
因为F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水gV_物，
V_物=$\frac{{P}_{2}-{P}_{1}}{{ρ}_{水}gv}$
所以圆柱形物体的密度为ρ_物=$\frac{m}{{v}_{物}}=\frac{{ρ}_{水}{P}_{2}}{{P}_{2}-{P}_{1}}$，
（3）根据图可知，重物上升t₁后开始出水，所以打捞前圆柱体上表面距水面的深度为h=Vt₁，重物出水所用的时间为t₂-t₁，所以圆柱体的高度h'=v（t₂-t₁）．
打捞前物体上表面所受水的压强为P=ρ_水gVt₁．
因圆柱体的底面积为，S=$\frac{{v}_{物}}{h′}=\frac{{P}_{2}-{P}_{1}}{{ρ}_{水}g{v}^{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）}$．
所以圆柱体上表面在打捞前受到水的压力为：
F=PS=$\frac{5（{P}_{2}-{P}_{1}）{t}_{1}}{{t}_{2}-{t}_{1}}$．
（4）在0-t₁时间内拉力做功W₁=P₁t₁
t₁-t₂过程根据动能定理可知${W}_{2}-mgh′+\frac{{F}_{浮}}{2}h′=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得${W}_{2}=\frac{{P}_{2}+{P}_{1}}{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）$
故所做总功为W=W₁+W₂=$\frac{{P}_{2}}{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）+\frac{{P}_{1}}{2}（{t}_{2}+{t}_{1}）$
答：（1）圆柱形重物的质量为$\frac{{P}_{2}}{vg}$
（2）圆柱形重物的密度为$\frac{{ρ}_{水}{P}_{2}}{{P}_{2}-{P}_{1}}$
（3）打捞前，圆柱形重物上表面所受水的压力为$\frac{5（{P}_{2}-{P}_{1}）{t}_{1}}{{t}_{2}-{t}_{1}}$
（4）从汽车开始拉物体到圆柱形物体刚好离开水面，这一过程中汽车所做的功是$\frac{{P}_{2}}{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）+\frac{{P}_{1}}{2}（{t}_{2}+{t}_{1}）$

点评 本题综合性比较强，考查内容比较多，包括功率公式、阿基米德原理、压强计算等．此题的关键是要看懂图象，从中找出对解题有用的东西．