Question

如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道置于同一竖直平面上（R＞r），两圆形轨道之间用一条水平粗糙轨道CD连接，轨道CD与甲乙两个圆形轨道相切于C、D两点．现有一小球以一定的速度先滑上甲轨道，绕行一圈后通过轨道CD再滑上乙轨道，绕行一圈后离开乙轨道．已知小球在甲轨道最高点处对轨道的压力等于球的重力，在乙轨道运动时恰好能过最高点．小球与轨道CD间的动摩擦系数为μ，求
（1）小球过甲、乙轨道的最高点时的速度V₁、V₂ 
（2）水平CD段的长度L．

Answer 1

分析：小球在甲轨道和乙轨道上做圆周运动，对小球运动到最高点进行受力分析．
知道小球在乙轨道运动时恰好能过最高点的临界条件．
运用牛顿第二定律列出合力提供向心力的表达式，求出最高点的速度．
再运用动能定理研究小球从甲轨道最高点运动到乙轨道最高点的过程，求解L．

解答：解：（1）设小球质量为m，当小球在甲轨道最高点时对轨道的压力等于球的重力，
由牛顿第二定律得：
N+mg=m

V 2 1

R

V₁=

2gR

 
当小球在乙轨道最高点时恰好能过最高点，由牛顿第二定律得：
mg=m

V 2 2

r

        V₂=

gr

     
（2）小球从甲轨道最高点运动到乙轨道最高点的过程中，
由动能定理得：
mg（2R-2r）-fL=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²
滑动摩擦力f=μN=μmg
∴L=

6R-3r

2μ

答：（1）小球过甲、乙轨道的最高点时的速度分别是

2gR

，

gr

．
（2）水平CD段的长度L是

6R-3r

2μ

．

点评：对于圆周运动问题分析要注重受力分析后，找出向心力的来源并能列出相应的等式求解问题．
我们要清楚圆周运动里一些临界状态的语言表达，并知道其中的含义．