Question

14．如图所示，底边长为2L，θ=30°的等腰三角形区域内（O为底边中点）有垂直纸面向外的匀强磁场．现有一质量为m，电量为q的带正电粒子从静止开始经过电势差为U的电场加速后，从O点垂直于AB进入磁场，不计粒子重力与空气阻力的影响，不计粒子与AB板碰撞的作用时间，设粒子与AB板碰撞前后，电量保持不变并以相同的速率反弹．求：
（1）粒子经电场加速射入磁场时的速度；
（2）磁感应强度B为多少时，粒子能以最大的圆周半径偏转后打到AB板；
（3）如果粒子经AB板碰撞一次后，以垂直于AC速度射出磁场，求粒子在磁场中运动的时间；
（4）粒子在磁场中的运动时间随着磁感应强度的增大而增加，求粒子在磁场内运动的极限时间．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子经电场加速后射入磁场时的速度．
（2）要使圆周半径最大，则粒子的圆周轨迹应与AC边相切，作出粒子的运动轨迹，根据几何关系求出半径，结合半径公式求出磁感应强度的大小．
（3）作出粒子的运动轨迹，根据弧长和速度求出运动的时间．
（4）当r越小，后一次打到ED板的点越靠近E端点，在磁场中圆周运动累积路程越大，时间越长．当r为无穷小，经过n个半圆运动，最后一次打到E点．

解答 解：（1）依题意，粒子经电场加速射入磁场时的速度为v，由动能定理得：
由$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，①
得v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．     ②
（2）要使圆周半径最大，则粒子的圆周轨迹应与AC边相切，设圆周半径为R，
由图中几何关系：R+$\frac{R}{sinθ}$=L    ③
由洛伦兹力提供向心力：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$    ④
联立①②③④解得B=$\frac{3\sqrt{2Uqm}}{qL}$．  ⑤
（3）由图b可知，运动的半径r=$\frac{L}{3}$，
${t}_{1}=\frac{πL}{3v}$，
${t}_{2}=\frac{\frac{π}{6}}{2π}•\frac{2πL}{3v}=\frac{πL}{18v}$．
则$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{7πL}{18v}$=$\frac{7πL}{18}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．
（4）如图c，设粒子运动圆周半径为r，则r=$\frac{mv}{qB}$，
当r越小，最后一次打到AB板的点越靠近A端点，在磁场中圆周运动累积路程越大，时间越长，当r为无穷小，经过n个半圆圆周运动，如图所示，最后一次打到A点．
有：$n=\frac{L}{2r}$    ⑥
最长的极限时间${t}_{m}=n\frac{πr}{v}=\frac{πL}{2}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．
答：（1）粒子经电场加速射入磁场时的速度为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．  
（2）磁感应强度B为$\frac{3\sqrt{2Uqm}}{qL}$时，粒子能以最大的圆周半径偏转后打到AB板．
（3）粒子在磁场中运动的时间为$\frac{7πL}{18}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．
（4）粒子在磁场内运动的极限时间为$\frac{πL}{2}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．

点评 做好此类题目的关键是准确的画出粒子运动的轨迹图，利用几何知识求出粒子运动的半径，再结合半径公式和周期公式去分析．