Question

16．如图所示，长L的轻绳系一个质量为m的小球悬挂在0点做角速度ω的圆锥摆运动．求：
①悬线与竖直方向的夹角θ；
②若悬点O离地高OO′=H（H＞L），在某一时刻悬线突然断了，则m的落地点离O′的距离是多少？

Answer 1

分析 ①小球在重力和拉力的合力作用下做匀速圆周运动，靠两个力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出θ．
②悬线断后，小球将做平抛运动，运用分解法，结合几何关系求解即可．

解答 解：①根据牛顿第二定律得：
mgtanθ=mLsinθ•ω²，
解得：$θ=arccos\frac{g}{L{ω}^{2}}$．
②根据H-Lcosθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2（H-Lcosθ）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2H}{g}-\frac{2}{{ω}^{2}}}$，
s=Lωsinθ•t，
根据几何关系知：$d=\sqrt{{s}^{2}+（Lsinθ）^{2}}$，
联立解得：d=$\sqrt{（1-\frac{{g}^{2}}{{ω}^{4}{L}^{2}}）（\frac{2{ω}^{2}{L}^{2}H}{g}-{L}^{2}）}$．
答：①悬线与竖直方向的夹角θ是arccos$\frac{g}{L{ω}^{2}}$．
②若悬点O离地高OO'=H（H＞L），在某一时刻悬线突然断了，则m的落地点离O'的距离是$\sqrt{（1-\frac{{g}^{2}}{{ω}^{4}{L}^{2}}）（\frac{2{ω}^{2}{L}^{2}H}{g}-{L}^{2}）}$．

点评 解决本题的关键搞清小球做圆周运动向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解．