Question

某球形天体的密度为ρ₀，引力常量为G.

(1)证明对环绕密度相同的球形天体表面运行的卫星，运动周期与天体的大小无关．(球的体积公式为V＝πR³，其中R为球半径)．

(2)若球形天体的半径为R，自转的角速度为ω₀＝，表面周围空间充满厚度d＝(小于同步卫星距天体表面的高度)、密度ρ＝的均匀介质，试求同步卫星距天体表面的高度．

Answer 1

答案　见解析

解析　(1)设环绕其表面运行的卫星的质量为m，运动周期为T，球形天体半径为R，天体质量为M，由牛顿第二定律有G＝m()²R                                                      ①

而M＝ρ₀·πR³                                                                                                                                                                                                                 ②

由①②式解得T＝ ，可见T与R无关，为一常量．

(2)设该天体的同步卫星距天体中心的距离为r，同步卫星的质量为m₀，则有G＝m₀ωr                                                                                               ③

而M′＝ρ·π[(R＋d)³－R³]                                                                                     ④

由②③④式解得r＝2R

则该天体的同步卫星距表面的高度h＝r－R＝R